Упр.26.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Существует ли многочлен $$P(x)$$ с целыми коэффициентами такой, что $$P(1)=17$$, $$P(9)=53$$?

Предположим, что такой многочлен $$P(x)$$ существует. Тогда для любых целых чисел $$p$$ и $$q$$ разность $$P(p)-P(q)$$ делится на $$p-q$$.

Возьмём $$p=1$$ и $$q=9$$. Тогда

$$P(1)-P(9)=17-53=-36,$$

а

$$1-9=-8.$$

Число $$-36$$ не делится на $$-8$$ нацело, значит, такого многочлена не существует.

Ответ

Не существует.