Упр.26.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите в целых числах уравнение: 1) $$x^2-4y^2=5$$; 2) $$y^2+3xy=15+y$$; 3) $$x^2-3xy+3y-x=10$$; 4) $$2y^2-xy-x^2=2$$.

Подробный ответ

$$x^2-4y^2=5$$
Разложим на множители:
$$\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)=5.$$
Так как $$5$$ — простое число, возможны пары делителей:
$$5=5\cdot 1,\quad 5=1\cdot 5,\quad 5=(-5)\cdot(-1),\quad 5=(-1)\cdot(-5).$$
Решаем соответствующие системы:
$$\begin{cases} x-2y=5\\ x+2y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=6\\ x=3 \end{cases} \Rightarrow y=-1.$$
$$\begin{cases} x-2y=1\\ x+2y=5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=6\\ x=3 \end{cases} \Rightarrow y=1.$$
$$\begin{cases} x-2y=-5\\ x+2y=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=-6\\ x=-3 \end{cases} \Rightarrow y=1.$$
$$\begin{cases} x-2y=-1\\ x+2y=-5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=-6\\ x=-3 \end{cases} \Rightarrow y=-1.$$
Получаем решения: $$(3,-1),\ (3,1),\ (-3,1),\ (-3,-1).$$
$$y^2+3xy=15+y$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем $$y$$ за скобку:
$$y^2+3xy-y=15,$$
$$y(y+3x-1)=15.$$
Значит, числа $$y$$ и $$y+3x-1$$ — делители числа $$15$$.
Проверяем целые пары делителей. Подходят только:
$$\begin{cases} y=1\\ y+3x-1=15 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=1\\ 3x=15 \end{cases} \Rightarrow x=5,$$
$$\begin{cases} y=15\\ y+3x-1=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=15\\ 3x=-13 \end{cases}$$
не подходит, так как $$x\notin \mathbb{Z}$$.
$$\begin{cases} y=5\\ y+3x-1=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=5\\ 3x=-1 \end{cases}$$
не подходит, так как $$x\notin \mathbb{Z}$$.
Аналогично получаем ещё одно решение: $$(1,3).$$
Итак, решения: $$(5,1),\ (5,-15),\ (1,3),\ (1,-5).$$
$$x^2-3xy+3y-x=10$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x(x-3y)-(x-3y)=10,$$
$$\left(x-3y\right)\left(x-1\right)=10.$$
Значит, числа $$x-3y$$ и $$x-1$$ — делители числа $$10$$.
Проверка всех целых пар делителей показывает, что в каждом случае либо $$x$$, либо $$y$$ получается нецелым. Следовательно, целых решений нет.
$$2y^2-xy-x^2=2$$
Перепишем выражение:
$$y^2-x^2+y^2-xy=2,$$
$$\left(y-x\right)\left(y+x\right)+y\left(y-x\right)=2,$$
$$\left(y-x\right)\left(x+2y\right)=2.$$
Значит, числа $$y-x$$ и $$x+2y$$ — делители числа $$2$$.
Проверяем возможные пары делителей:
$$\begin{cases} y-x=2\\ x+2y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y=3\\ y=1 \end{cases} \Rightarrow x=-1,$$
$$\begin{cases} y-x=1\\ x+2y=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y=3\\ y=1 \end{cases} \Rightarrow x=0,$$
$$\begin{cases} y-x=-2\\ x+2y=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y=-3\\ y=-1 \end{cases} \Rightarrow x=1,$$
$$\begin{cases} y-x=-1\\ x+2y=-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y=-3\\ y=-1 \end{cases} \Rightarrow x=0.$$
Получаем решения: $$( -1,1),\ (0,1),\ (1,-1),\ (0,-1).$$