Упр.26.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
Решите в целых числах уравнение:
- 1) $$9x^2-y^2=6$$; 2) $$x^2+2xy=2x+9$$; 3) $$x^2+2xy-x-2y=4$$; 4) $$x^2-4xy+3y^2=3$$; 5) $$x^2+xy-6y^2=6$$; 6) $$x^2-2xy-3y^2+x+y=14$$.
$$9x^2-y^2=6$$
$$(3x-y)(3x+y)=6$$
Так как $$3x-y$$ и $$3x+y$$ — целые числа, перебираем делители числа $$6$$. Подходящих целых решений не получается.
$$x^2+2xy=2x+9$$
$$x^2+2xy-2x=9$$
$$x(x+2y-2)=9$$
Значит, $$x$$ и $$x+2y-2$$ — делители числа $$9$$.
Проверка делителей даёт целые решения:
$$(9;-3),\ (1;5),\ (-9;5),\ (-1;-3),\ (3;1),\ (-3;1)$$
$$x^2+2xy-x-2y=4$$
$$x(x+2y)-(x+2y)=4$$
$$(x+2y)(x-1)=4$$
Значит, $$x+2y$$ и $$x-1$$ — делители числа $$4$$.
Подходящие целые решения:
$$(2;1),\ (5;-2),\ (0;-2),\ (-3;1)$$
$$x^2-4xy+3y^2=3$$
$$x^2-4xy+4y^2-y^2=3$$
$$(x-2y)^2-y^2=3$$
$$(x-3y)(x-y)=3$$
Перебираем делители числа $$3$$. Получаем:
$$(0;-1),\ (4;1),\ (0;1),\ (-4;-1)$$
$$x^2+xy-6y^2=6$$
$$x^2+2x\cdot \frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}-\frac{y^2}{4}-6y^2=6$$
$$\left(x+\frac{y}{2}\right)^2-\frac{25}{4}y^2=6$$
$$\left(x-2y\right)\left(x+3y\right)=6$$
Перебор делителей числа $$6$$ даёт целые решения:
$$(4;-1),\ (3;1),\ (-4;1),\ (-3;-1)$$
$$x^2-2xy-3y^2+x+y=14$$
$$x^2+xy-3xy-3y^2+x+y=14$$
$$x(x+y)-3y(x+y)+(x+y)=14$$
$$(x+y)(x-3y+1)=14$$
Значит, $$x+y$$ и $$x-3y+1$$ — делители числа $$14$$.
Подходящие целые решения:
$$(4;-3),\ (-11;-3),\ (3;-1),\ (-6;-1)$$
Ответ
1) решений нет; 2) $$(9;-3),\ (1;5),\ (-9;5),\ (-1;-3),\ (3;1),\ (-3;1)$$; 3) $$(2;1),\ (5;-2),\ (0;-2),\ (-3;1)$$; 4) $$(0;-1),\ (4;1),\ (0;1),\ (-4;-1)$$; 5) $$(4;-1),\ (3;1),\ (-4;1),\ (-3;-1)$$; 6) $$(4;-3),\ (-11;-3),\ (3;-1),\ (-6;-1)$$.
