Упр.25.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Катер прошёл $$16\ \text{км}$$ по течению реки и $$30\ \text{км}$$ против течения, затратив на весь путь $$1\ \text{ч}\ 30\ \text{мин}$$. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет $$1\ \text{км/ч}$$.

Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна $$x+1$$ км/ч, а против течения — $$x-1$$ км/ч.

Время движения по течению:

$$\frac{16}{x+1}$$

Время движения против течения:

$$\frac{30}{x-1}$$

По условию весь путь занял $$1\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{3}{2}\text{ ч}$$, значит:

$$\frac{16}{x+1}+\frac{30}{x-1}=\frac{3}{2}$$

Умножим обе части на $$2(x-1)(x+1)$$:

$$32(x-1)+60(x+1)=3(x^2-1)$$

$$32x-32+60x+60=3x^2-3$$

$$92x+28=3x^2-3$$

$$3x^2-92x-31=0$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-92)^2-4\cdot 3\cdot(-31)=8464+372=8836$$

$$\sqrt{D}=94$$

$$x=\frac{92\pm 94}{6}$$

$$x_1=\frac{186}{6}=31,\qquad x_2=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$$

Так как скорость катера должна быть положительной и больше скорости течения, подходит только $$x=31$$.

Ответ

$$31\text{ км/ч}$$