Упр.25.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Кусок сплава меди и цинка, содержавший 10 кг цинка, сплавили с 10 кг меди. Полученный сплав содержит на $$5\%$$ меди больше, чем исходный. Сколько килограммов меди содержал исходный кусок сплава?

Пусть в исходном куске сплава было $$x$$ кг меди. Тогда масса исходного сплава равна $$x+10$$ кг, а массовая доля меди в нём:

$$\frac{x}{x+10}\cdot 100\%.$$

После добавления $$10$$ кг меди масса сплава стала $$x+20$$ кг, а массовая доля меди —

$$\frac{x+10}{x+20}\cdot 100\%.$$

По условию, в полученном сплаве меди на $$5\%$$ больше, чем в исходном. Составим уравнение:

$$\frac{x+10}{x+20}\cdot 100-\frac{x}{x+10}\cdot 100=5.$$

Разделим обе части на $$100$$:

$$\frac{x+10}{x+20}-\frac{x}{x+10}=\frac{1}{20}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$20(x+10)^2-20x(x+20)-(x+20)(x+10)=0.$$

Раскроем скобки:

$$20(x^2+20x+100)-20x^2-400x-x^2-30x-200=0,$$

$$-x^2-30x+1800=0.$$

Умножим на $$-1$$:

$$x^2+30x-1800=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=30^2+4\cdot 1800=8100,$$

$$x=\frac{-30\pm 90}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=30,\quad x_2=-60.$$

Так как масса меди не может быть отрицательной, подходит только $$x=30$$.

Ответ

$$30$$ кг.