Упр.249 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$$.
2. Запишите выражение в виде натурального числа или десятичной дроби:
   1. $$2{,}4 \cdot 10^2$$;
   2. $$4{,}8 \cdot 10^5$$;
   3. $$1{,}4 \cdot 10^{-3}$$;
   4. $$8{,}6 \cdot 10^{-1}$$.

Докажем равенство:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

По свойству степени с отрицательным показателем:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}.$$

Возведём дробь в степень:

$$\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}=\frac{b^n}{a^n}.$$

А так как

$$\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n,$$

то

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

Теперь запишем выражения в виде натурального числа или десятичной дроби:

1) $$2{,}4\cdot 10^2=2{,}4\cdot 100=240.$$

2) $$4{,}8\cdot 10^5=4{,}8\cdot 100000=480000.$$

3) $$1{,}4\cdot 10^{-3}=1{,}4\cdot 0{,}001=0{,}0014.$$

4) $$8{,}6\cdot 10^{-1}=8{,}6\cdot 0{,}1=0{,}86.$$

Ответ

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

1) $$240$$; 2) $$480000$$; 3) $$0{,}0014$$; 4) $$0{,}86$$.