Упр.24.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x^2-6x)^2+(x^2-6x)-56=0;
2) (x^2+8x+3)(x^2+8x+5)=63;
3) x^4/(x-2)^2 -(4x^2)/(x-2)-5=0;
4) (x+4)/(x-3)-(x-3)/(x+4)=3/2.

1. Пусть $$x^2-6x=t.$$ Тогда исходное уравнение примет вид
   $$t^2+t-56=0.$$
   Разложим на множители:
   $$\left(t+8\right)\left(t-7\right)=0.$$
   Отсюда $$t=-8$$ или $$t=7$$.

   1) $$x^2-6x=-8$$
   $$x^2-6x+8=0$$
   $$\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0,$$
   значит, $$x=2$$ или $$x=4$$.

   2) $$x^2-6x=7$$
   $$x^2-6x-7=0$$
   $$\left(x-7\right)\left(x+1\right)=0,$$
   значит, $$x=7$$ или $$x=-1$$.

2. Пусть $$x^2+8x+3=t.$$ Тогда $$x^2+8x+5=t+2,$$ и получаем
   $$t(t+2)=63.$$
   Тогда
   $$t^2+2t-63=0,$$
   $$\left(t+9\right)\left(t-7\right)=0.$$
   Отсюда $$t=-9$$ или $$t=7$$.

   1) $$x^2+8x+3=-9$$
   $$x^2+8x+12=0$$
   $$\left(x+2\right)\left(x+6\right)=0,$$
   значит, $$x=-2$$ или $$x=-6$$.

   2) $$x^2+8x+3=7$$
   $$x^2+8x-4=0.$$
   Тогда
   $$D=8^2-4\cdot 1\cdot(-4)=64+16=80,$$
   $$x=\frac{-8\pm\sqrt{80}}{2}=\frac{-8\pm 4\sqrt5}{2}=-4\pm 2\sqrt5.$$

3. Обозначим
   $$\frac{x^2}{x-2}=t,$$
   тогда
   $$\frac{x^4}{(x-2)^2}=t^2.$$
   Получаем уравнение
   $$t^2-4t-5=0,$$
   $$\left(t-5\right)\left(t+1\right)=0.$$
   Значит, $$t=5$$ или $$t=-1$$.

   1) $$\frac{x^2}{x-2}=5,$$ $$x\ne 2$$
   $$x^2=5x-10$$
   $$x^2-5x+10=0.$$
   Здесь
   $$D=25-40=-15<0,$$ значит, корней нет.

   2) $$\frac{x^2}{x-2}=-1,$$ $$x\ne 2$$
   $$x^2=-x+2$$
   $$x^2+x-2=0$$
   $$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0,$$
   значит, $$x=-2$$ или $$x=1$$.

4. Пусть
   $$\frac{x+4}{x-3}=t,$$
   тогда
   $$\frac{x-3}{x+4}=\frac{1}{t}.$$
   Получаем
   $$t-\frac{1}{t}=\frac{3}{2}.$$
   Умножим на $$2t$$:
   $$2t^2-3t-2=0.$$
   Тогда
   $$D=9+16=25,$$
   $$t=\frac{3\pm 5}{4}.$$
   Отсюда $$t=2$$ или $$t=-\frac12$$.

   1) $$\frac{x+4}{x-3}=2,$$ $$x\ne 3$$
   $$x+4=2(x-3)$$
   $$x+4=2x-6$$
   $$x=10.$$

   2) $$\frac{x+4}{x-3}=-\frac12,$$ $$x\ne 3$$
   $$2(x+4)=-(x-3)$$
   $$2x+8=-x+3$$
   $$3x=-5$$
   $$x=-\frac53.$$

Ответ

1) $$x=-1,\ 2,\ 4,\ 7$$;
2) $$x=-6,\ -2,\ -4\pm 2\sqrt5$$;
3) $$x=-2,\ 1$$;
4) $$x=-\frac53,\ 10$$.