Упр.24.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2-2)^2-8(x^2-2)+7=0; 2) (x^2+5x)^2-2(x^2+5x)-24=0;
3) (x^2-3x+1)(x^2-3x+3)=3; 4) (x^2+2x+2)(x^2+2x-4)=-5.

Подробный ответ

$$\left(x^2-2\right)^2-8\left(x^2-2\right)+7=0$$
Пусть $$x^2-2=t,$$ тогда $$\left(x^2-2\right)^2=t^2.$$ Получаем:
$$t^2-8t+7=0$$
$$t_1=7,\quad t_2=1.$$
Тогда:
$$x^2-2=7 \quad \text{или} \quad x^2-2=1$$
$$x^2=9 \quad \text{или} \quad x^2=3$$
$$x=\pm 3 \quad \text{или} \quad x=\pm \sqrt{3}.$$
$$\left(x^2+5x\right)^2-2\left(x^2+5x\right)-24=0$$
Пусть $$x^2+5x=t,$$ тогда $$\left(x^2+5x\right)^2=t^2.$$ Получаем:
$$t^2-2t-24=0$$
$$t_1=6,\quad t_2=-4.$$
Тогда:
$$x^2+5x=6 \quad \text{или} \quad x^2+5x=-4$$
$$x^2+5x-6=0 \quad \text{или} \quad x^2+5x+4=0$$
$$\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0 \quad \text{или} \quad \left(x+4\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=-6,\; 1 \quad \text{или} \quad x=-4,\; -1.$$
$$\left(x^2-3x+1\right)\left(x^2-3x+3\right)=3$$
Пусть $$x^2-3x+1=t,$$ тогда $$x^2-3x+3=t+2.$$ Получаем:
$$t\left(t+2\right)=3$$
$$t^2+2t-3=0$$
$$t_1=-3,\quad t_2=1.$$
Тогда:
$$x^2-3x+1=-3 \quad \text{или} \quad x^2-3x+1=1$$
$$x^2-3x+4=0 \quad \text{или} \quad x^2-3x=0$$
У первого уравнения $$D=9-16=-7<0,$$ корней нет.
Из второго:
$$x\left(x-3\right)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=3.$$
$$\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2+2x-4\right)=-5$$
Пусть $$x^2+2x-4=t,$$ тогда $$x^2+2x+2=t+6.$$ Получаем:
$$t\left(t+6\right)=-5$$
$$t^2+6t+5=0$$
$$t_1=-5,\quad t_2=-1.$$
Тогда:
$$x^2+2x-4=-5 \quad \text{или} \quad x^2+2x-4=-1$$
$$x^2+2x+1=0 \quad \text{или} \quad x^2+2x-3=0$$
$$\left(x+1\right)^2=0 \quad \text{или} \quad \left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$$
$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=-3,\; 1.$$