Упр.24.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(x-2)^4+(x-3)^4=1$$;
   2) $$(x+6)^4+(x+4)^4=82$$.

1) $$(x-2)^4+(x-3)^4=1$$

Пусть $$t=x-\frac{5}{2}$$, тогда $$x=t+\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$x-2=t+\frac{1}{2}, \qquad x-3=t-\frac{1}{2}.$$

Получаем:

$$\left(t+\frac{1}{2}\right)^4+\left(t-\frac{1}{2}\right)^4=1.$$

Раскроем скобки:

$$t^4+2\cdot 6\cdot t^2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{16} +t^4+2\cdot 6\cdot t^2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{16}=1,$$

$$2t^4+3t^2-\frac{7}{8}=0.$$

Умножим на $$8$$:

$$16t^4+24t^2-7=0.$$

Пусть $$c=t^2$$, тогда $$t^4=c^2$$:

$$16c^2+24c-7=0.$$

$$D=24^2-4\cdot 16\cdot(-7)=576+448=1024, \qquad \sqrt{D}=32.$$

$$c_1=\frac{-24-32}{32}=-\frac{7}{4}, \qquad c_2=\frac{-24+32}{32}=\frac{1}{4}.$$

Так как $$t^2\ge 0$$, значение $$c_1=-\frac{7}{4}$$ не подходит. Тогда

$$t^2=\frac{1}{4}, \qquad t=\pm \frac{1}{2}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow x=3, \qquad x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=2.$$

2) $$(x+6)^4+(x+4)^4=82$$

Пусть $$t=x+5$$, тогда $$x=t-5.$$

Тогда

$$x+6=t+1, \qquad x+4=t-1.$$

Получаем:

$$(t+1)^4+(t-1)^4=82.$$

Раскроем скобки:

$$t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=82,$$

$$2t^4+12t^2-80=0.$$

Разделим на $$2$$:

$$t^4+6t^2-40=0.$$

Пусть $$c=t^2$$, тогда $$t^4=c^2$$:

$$c^2+6c-40=0.$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-40)=36+160=196, \qquad \sqrt{D}=14.$$

$$c_1=\frac{-6-14}{2}=-10, \qquad c_2=\frac{-6+14}{2}=4.$$

Так как $$t^2\ge 0$$, значение $$c_1=-10$$ не подходит. Тогда

$$t^2=4, \qquad t=\pm 2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x+5=2 \Rightarrow x=-3, \qquad x+5=-2 \Rightarrow x=-7.$$

Ответ

1) $$x=2,\; x=3$$; 2) $$x=-7,\; x=-3$$.