Упр.24.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x+3)^4-3(x+3)^2-4=0;
2) (2x+1)^4-10(2x+1)^2+9=0;
3) (6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0;
4) (x-4)^4+2(x-4)^2-8=0.

1. $$ (x+3)^4-3(x+3)^2-4=0 $$

   Пусть $$ (x+3)^2=t $$, тогда $$ (x+3)^4=t^2 $$.

   Получаем:

   $$ t^2-3t-4=0 $$

   $$ t_1=4,\quad t_2=-1 $$

   Тогда

   $$ \begin{cases} (x+3)^2=4,\\ (x+3)^2=-1 \end{cases} $$

   Второе уравнение корней не имеет. Из первого:

   $$ x+3=2 \text{ или } x+3=-2 $$

   $$ x=-1 \text{ или } x=-5 $$

2. $$ (2x+1)^4-10(2x+1)^2+9=0 $$

   Пусть $$ (2x+1)^2=t $$, тогда $$ (2x+1)^4=t^2 $$.

   Получаем:

   $$ t^2-10t+9=0 $$

   $$ t_1=9,\quad t_2=1 $$

   Тогда

   $$ \begin{cases} (2x+1)^2=9,\\ (2x+1)^2=1 \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$ 2x+1=3 \text{ или } 2x+1=-3 $$

   $$ x=1 \text{ или } x=-2 $$

   Из второго уравнения:

   $$ 2x+1=1 \text{ или } 2x+1=-1 $$

   $$ x=0 \text{ или } x=-1 $$

3. $$ (6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0 $$

   Пусть $$ (6x-7)^2=t $$, тогда $$ (6x-7)^4=t^2 $$.

   Получаем:

   $$ t^2+4t+3=0 $$

   $$ t_1=-3,\quad t_2=-1 $$

   Но $$ (6x-7)^2 \ge 0 $$, значит оба значения невозможны. Корней нет.

4. $$ (x-4)^4+2(x-4)^2-8=0 $$

   Пусть $$ (x-4)^2=t $$, тогда $$ (x-4)^4=t^2 $$.

   Получаем:

   $$ t^2+2t-8=0 $$

   $$ t_1=-4,\quad t_2=2 $$

   Тогда

   $$ \begin{cases} (x-4)^2=-4,\\ (x-4)^2=2 \end{cases} $$

   Первое уравнение корней не имеет. Из второго:

   $$ x-4=\pm \sqrt{2} $$

   $$ x=4\pm \sqrt{2} $$

Ответ

1) $$x=-5,\,-1$$; 2) $$x=-2,\,-1,\,0,\,1$$; 3) корней нет; 4) $$x=4\pm\sqrt{2}$$.