Упр.24.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(x+3)^4-3(x+3)^2-4=0$$;
   2) $$(2x+1)^4-10(2x+1)^2+9=0$$;
   3) $$(6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0$$;
   4) $$(x-4)^4+2(x-4)^2-8=0$$.

1. $$(x+3)^4-3(x+3)^2-4=0$$

   Пусть $$(x+3)^2=t$$, тогда $$(x+3)^4=t^2$$.

   Получаем:

   $$t^2-3t-4=0$$

   $$t_1=4,\quad t_2=-1$$

   Тогда

   $$\begin{cases} (x+3)^2=4,\\ (x+3)^2=-1 \end{cases}$$

   Второе уравнение корней не имеет. Из первого:

   $$x+3=2 \text{ или } x+3=-2$$

   $$x=-1 \text{ или } x=-5$$

2. $$(2x+1)^4-10(2x+1)^2+9=0$$

   Пусть $$(2x+1)^2=t$$, тогда $$(2x+1)^4=t^2$$.

   Получаем:

   $$t^2-10t+9=0$$

   $$t_1=9,\quad t_2=1$$

   Тогда

   $$\begin{cases} (2x+1)^2=9,\\ (2x+1)^2=1 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$2x+1=3 \text{ или } 2x+1=-3$$

   $$x=1 \text{ или } x=-2$$

   Из второго уравнения:

   $$2x+1=1 \text{ или } 2x+1=-1$$

   $$x=0 \text{ или } x=-1$$

3. $$(6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0$$

   Пусть $$(6x-7)^2=t$$, тогда $$(6x-7)^4=t^2$$.

   Получаем:

   $$t^2+4t+3=0$$

   $$t_1=-3,\quad t_2=-1$$

   Но $$(6x-7)^2 \ge 0$$, значит оба значения невозможны. Корней нет.

4. $$(x-4)^4+2(x-4)^2-8=0$$

   Пусть $$(x-4)^2=t$$, тогда $$(x-4)^4=t^2$$.

   Получаем:

   $$t^2+2t-8=0$$

   $$t_1=-4,\quad t_2=2$$

   Тогда

   $$\begin{cases} (x-4)^2=-4,\\ (x-4)^2=2 \end{cases}$$

   Первое уравнение корней не имеет. Из второго:

   $$x-4=\pm \sqrt{2}$$

   $$x=4\pm \sqrt{2}$$

Ответ

1) $$x=-5,\,-1$$; 2) $$x=-2,\,-1,\,0,\,1$$; 3) корней нет; 4) $$x=4\pm\sqrt{2}$$.