Упр.24.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^2+(x/(x+1))^2=3;
2) ((x-1)/x)^2+((x-1)/(x-2))^2=40/9;
3) x^2+(4x^2)/(x+2)^2 =5.

1. $$x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=3, \qquad x\ne -1.$$

   Преобразуем:

   $$ x^2-2x\cdot \frac{x}{x+1}+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2+2x\cdot \frac{x}{x+1}-3=0 $$
   $$ \left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-3=0 $$
   $$ \left(\frac{x(x+1)-x}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-3=0 $$
   $$ \left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-3=0. $$

   Пусть $$\frac{x^2}{x+1}=t$$, тогда получаем:

   $$t^2+2t-3=0.$$

   $$t_1=-3,\quad t_2=1.$$

   Решаем два уравнения:

   $$ \frac{x^2}{x+1}=-3 \Rightarrow x^2=-3x-3 \Rightarrow x^2+3x+3=0, $$
   $$ D=9-12=-3<0, $$ корней нет.

   $$ \frac{x^2}{x+1}=1 \Rightarrow x^2=x+1 \Rightarrow x^2-x-1=0. $$
   $$ D=1+4=5,\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2}. $$

2. $$\left(\frac{x-1}{x}\right)^2+\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2=\frac{40}{9}, \qquad x\ne 0,\; x\ne 2.$$

   Преобразуем:

   $$ \left(\frac{x-1}{x}\right)^2+2\cdot \frac{x-1}{x}\cdot \frac{x-1}{x-2}+\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2 -2\cdot \frac{x-1}{x}\cdot \frac{x-1}{x-2}=\frac{40}{9} $$
   $$ \left(\frac{x-1}{x}+\frac{x-1}{x-2}\right)^2-2\cdot \frac{(x-1)^2}{x(x-2)}=\frac{40}{9} $$
   $$ \left(\frac{(x-1)(x-2)+x(x-1)}{x(x-2)}\right)^2-2\cdot \frac{(x-1)^2}{x(x-2)}=\frac{40}{9} $$
   $$ \left(\frac{2(x-1)^2}{x(x-2)}\right)^2-2\cdot \frac{(x-1)^2}{x(x-2)}-\frac{40}{9}=0. $$

   Пусть $$\frac{2(x-1)^2}{x(x-2)}=t$$, тогда:

   $$t^2-t-\frac{40}{9}=0.$$

   $$9t^2-9t-40=0.$$

   $$ D=81+1440=1521,\qquad \sqrt{D}=39, $$
   $$ t_1=\frac{9-39}{18}=-\frac53,\qquad t_2=\frac{9+39}{18}=\frac83. $$

   Решаем два уравнения:

   $$ \frac{2(x-1)^2}{x(x-2)}=-\frac53 \Rightarrow 6(x-1)^2=-5x(x-2) $$
   $$ 6x^2-12x+6=-5x^2+10x $$
   $$ 11x^2-22x+6=0 $$
   $$ D=484-264=220=4\cdot 55, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{22\pm 2\sqrt{55}}{22}=\frac{11\pm \sqrt{55}}{11}. $$

   $$ \frac{2(x-1)^2}{x(x-2)}=\frac83 \Rightarrow 6(x-1)^2=8x(x-2) $$
   $$ 6x^2-12x+6=8x^2-16x $$
   $$ x^2-2x-3=0 $$
   $$ x_1=3,\quad x_2=-1. $$

3. $$x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5, \qquad x\ne -2.$$

   Преобразуем:

   $$ x^2-2x\cdot \frac{2x}{x+2}+\left(\frac{2x}{x+2}\right)^2+2x\cdot \frac{2x}{x+2}-5=0 $$
   $$ \left(x-\frac{2x}{x+2}\right)^2+\frac{4x^2}{x+2}-5=0 $$
   $$ \left(\frac{x(x+2)-2x}{x+2}\right)^2+\frac{4x^2}{x+2}-5=0 $$
   $$ \left(\frac{x^2}{x+2}\right)^2+\frac{4x^2}{x+2}-5=0. $$

   Пусть $$\frac{x^2}{x+2}=t$$, тогда:

   $$t^2+4t-5=0.$$

   $$t_1=-5,\quad t_2=1.$$

   Решаем два уравнения:

   $$ \frac{x^2}{x+2}=-5 \Rightarrow x^2=-5(x+2) \Rightarrow x^2+5x+10=0, $$
   $$ D=25-40<0, $$ корней нет.

   $$ \frac{x^2}{x+2}=1 \Rightarrow x^2=x+2 \Rightarrow x^2-x-2=0 $$
   $$ x_1=2,\quad x_2=-1. $$

Ответ

1) $$x=\frac{1\pm \sqrt5}{2}$$;

2) $$x=-1,\; x=3,\; x=\frac{11\pm \sqrt{55}}{11}$$;

3) $$x=-1,\; x=2$$.