Упр.24.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 3x/(x^2+1-4x)-2x/(x^2+1+x)=8/3;
2) (x^2+5x+4)/(x^2-7x+4)+(x^2-x+4)/(x^2+x+4)+13/3=0.

Подробный ответ

$$\frac{3x}{x^2-4x+1}-\frac{2x}{x^2+x+1}=\frac{8}{3}.$$
Так как $$x\ne 0$$, разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $$x$$:
$$\frac{3}{x+\frac1x-4}-\frac{2}{x+\frac1x+1}=\frac{8}{3}.$$
Пусть $$x+\frac1x=t$$. Тогда получаем
$$\frac{3}{t-4}-\frac{2}{t+1}=\frac{8}{3}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{3\cdot 3(t+1)-2\cdot 3(t-4)-8(t-4)(t+1)}{3(t-4)(t+1)}=0 $$
$$ 9t+9-6t+24-8(t^2-3t-4)=0 $$
$$ -8t^2+27t+65=0 $$
$$ 8t^2-27t-65=0 $$
$$ D=27^2+4\cdot 8\cdot 65=2809=53^2 $$
$$ t_{1,2}=\frac{27\pm 53}{16} $$
$$ t_1=-\frac{13}{8},\qquad t_2=5. $$
Тогда
$$ x+\frac1x=-\frac{13}{8} $$
$$ 8x^2+13x+8=0 $$
$$ D=13^2-4\cdot 8\cdot 8=169-256<0 $$
действительных корней нет.
$$ x+\frac1x=5 $$
$$ x^2-5x+1=0 $$
$$ D=25-4=21 $$
$$ x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}. $$
$$\frac{x^2+5x+4}{x^2-7x+4}+\frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}+\frac{13}{3}=0.$$
Перенесём число вправо:
$$ \frac{x^2+5x+4}{x^2-7x+4}+\frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}=-\frac{13}{3}. $$
Так как $$x\ne 0$$, разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $$x$$:
$$ \frac{x+5+\frac4x}{x-7+\frac4x}+\frac{x-1+\frac4x}{x+1+\frac4x}=-\frac{13}{3}. $$
Пусть $$x+\frac4x=t$$. Тогда
$$ \frac{t+5}{t-7}+\frac{t-1}{t+1}+\frac{13}{3}=0. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{3(t+5)(t+1)+3(t-1)(t-7)+13(t-7)(t+1)}{3(t-7)(t+1)}=0 $$
$$ 3(t^2+6t+5)+3(t^2-8t+7)+13(t^2-6t-7)=0 $$
$$ 19t^2-84t-55=0 $$
$$ D=84^2+4\cdot 19\cdot 55=11236=106^2 $$
$$ t_{1,2}=\frac{84\pm 106}{38} $$
$$ t_1=-\frac{11}{19},\qquad t_2=5. $$
Тогда
$$ x+\frac4x=-\frac{11}{19} $$
$$ 19x^2+11x+76=0 $$
$$ D=11^2-4\cdot 19\cdot 76<0 $$
действительных корней нет.
$$ x+\frac4x=5 $$
$$ x^2-5x+4=0 $$
$$ (x-1)(x-4)=0 $$
$$ x=1 \text{ или } x=4. $$