Упр.24.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\frac{3x}{x^2+1-4x}-\frac{2x}{x^2+1+x}=\frac{8}{3}$$;
2. $$\frac{x^2+5x+4}{x^2-7x+4}+\frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}+\frac{13}{3}=0$$.

1. $$\frac{3x}{x^2-4x+1}-\frac{2x}{x^2+x+1}=\frac{8}{3}.$$

   Так как $$x\ne 0$$, разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $$x$$:

   $$\frac{3}{x+\frac1x-4}-\frac{2}{x+\frac1x+1}=\frac{8}{3}.$$

   Пусть $$x+\frac1x=t$$. Тогда получаем

   $$\frac{3}{t-4}-\frac{2}{t+1}=\frac{8}{3}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3\cdot 3(t+1)-2\cdot 3(t-4)-8(t-4)(t+1)}{3(t-4)(t+1)}=0$$

   $$9t+9-6t+24-8(t^2-3t-4)=0$$

   $$-8t^2+27t+65=0$$

   $$8t^2-27t-65=0$$

   $$D=27^2+4\cdot 8\cdot 65=2809=53^2$$

   $$t_{1,2}=\frac{27\pm 53}{16}$$

   $$t_1=-\frac{13}{8},\qquad t_2=5.$$

   Тогда

   $$x+\frac1x=-\frac{13}{8}$$

   $$8x^2+13x+8=0$$

   $$D=13^2-4\cdot 8\cdot 8=169-256<0$$

   действительных корней нет.

   $$x+\frac1x=5$$

   $$x^2-5x+1=0$$

   $$D=25-4=21$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}.$$

2. $$\frac{x^2+5x+4}{x^2-7x+4}+\frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}+\frac{13}{3}=0.$$

   Перенесём число вправо:

   $$\frac{x^2+5x+4}{x^2-7x+4}+\frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}=-\frac{13}{3}.$$

   Так как $$x\ne 0$$, разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $$x$$:

   $$\frac{x+5+\frac4x}{x-7+\frac4x}+\frac{x-1+\frac4x}{x+1+\frac4x}=-\frac{13}{3}.$$

   Пусть $$x+\frac4x=t$$. Тогда

   $$\frac{t+5}{t-7}+\frac{t-1}{t+1}+\frac{13}{3}=0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3(t+5)(t+1)+3(t-1)(t-7)+13(t-7)(t+1)}{3(t-7)(t+1)}=0$$

   $$3(t^2+6t+5)+3(t^2-8t+7)+13(t^2-6t-7)=0$$

   $$19t^2-84t-55=0$$

   $$D=84^2+4\cdot 19\cdot 55=11236=106^2$$

   $$t_{1,2}=\frac{84\pm 106}{38}$$

   $$t_1=-\frac{11}{19},\qquad t_2=5.$$

   Тогда

   $$x+\frac4x=-\frac{11}{19}$$

   $$19x^2+11x+76=0$$

   $$D=11^2-4\cdot 19\cdot 76<0$$

   действительных корней нет.

   $$x+\frac4x=5$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$(x-1)(x-4)=0$$

   $$x=1 \text{ или } x=4.$$

Ответ

1) $$x=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}$$; 2) $$x=1,\;4$$.