Упр.24.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 4x/(4x^2-8x+7)+3x/(4x^2-10x+7)=1; 2) (x^2-3x+1)/x+2x/(x^2-2x+1)=7/2.

Подробный ответ

$$\frac{4x}{4x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1.$$
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $$x$$, $$x\ne 0$$:
$$\frac{4}{4x-8+\frac{7}{x}}+\frac{3}{4x-10+\frac{7}{x}}=1.$$
Пусть $$4x+\frac{7}{x}=t$$. Тогда
$$4x-8+\frac{7}{x}=t-8,\qquad 4x-10+\frac{7}{x}=t-10.$$
Получаем:
$$\frac{4}{t-8}+\frac{3}{t-10}=1.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$4(t-10)+3(t-8)-(t-8)(t-10)=0.$$
$$4t-40+3t-24-(t^2-18t+80)=0,$$
$$-t^2+25t-144=0,$$
$$t^2-25t+144=0.$$
$$D=25^2-4\cdot 144=625-576=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{25\pm 7}{2}.$$
Отсюда $$t_1=16$$, $$t_2=9$$.
Тогда
$$4x+\frac{7}{x}=16 \quad \text{или} \quad 4x+\frac{7}{x}=9.$$
1) $$4x+\frac{7}{x}=16$$
$$4x^2-16x+7=0,$$
$$D=16^2-4\cdot 4\cdot 7=256-112=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm 12}{8}.$$
$$x_1=\frac{4}{8}=\frac12,\qquad x_2=\frac{28}{8}=\frac72.$$
2) $$4x+\frac{7}{x}=9$$
$$4x^2-9x+7=0,$$
$$D=9^2-4\cdot 4\cdot 7=81-112<0,$$
корней нет.
$$\frac{x^2-3x+1}{x}+\frac{2x}{x^2-2x+1}=\frac72.$$
ОДЗ: $$x\ne 0$$, $$x^2-2x+1=(x-1)^2\ne 0$$, значит $$x\ne 1$$.
Разделим числитель и знаменатель первой дроби на $$x$$, $$x\ne 0$$:
$$x-3+\frac1x+\frac{2}{x-2+\frac1x}=\frac72.$$
Пусть $$x+\frac1x=t$$. Тогда
$$x-3+\frac1x=t-3,\qquad x-2+\frac1x=t-2.$$
Получаем:
$$t-3+\frac{2}{t-2}=\frac72.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$2(t-3)(t-2)+4=7(t-2).$$
$$2(t^2-5t+6)+4=7t-14,$$
$$2t^2-10t+16=7t-14,$$
$$2t^2-17t+30=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 2\cdot 30=289-240=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{17\pm 7}{4}.$$
Отсюда $$t_1=\frac52$$, $$t_2=6$$.
Тогда
$$x+\frac1x=\frac52 \quad \text{или} \quad x+\frac1x=6.$$
1) $$x+\frac1x=\frac52$$
$$2x^2-5x+2=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$
$$x_1=\frac12,\qquad x_2=2.$$
2) $$x+\frac1x=6$$
$$x^2-6x+1=0,$$
$$D=36-4=32,$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{32}}{2}=3\pm 2\sqrt2.$$