Упр.24.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x+3)^4+(x+1)^4=16; 2) x^4+(x-1)^4=97.

1) Пусть $$t=x+2.$$ Тогда $$x=t-2,$$ и уравнение примет вид

$$ (t+1)^4+(t-1)^4=16. $$

Раскроем скобки:

$$ t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=16, $$

$$ 2t^4+12t^2+2=16, $$

$$ 2t^4+12t^2-14=0, $$

$$ t^4+6t^2-7=0. $$

Обозначим $$u=t^2.$$ Тогда

$$ u^2+6u-7=0, $$

$$ (u+7)(u-1)=0. $$

Отсюда $$u=-7$$ или $$u=1.$$ Так как $$u=t^2\ge 0,$$ получаем только $$t^2=1,$$ значит $$t=\pm 1.$$

Тогда

$$ x+2=1 \quad \text{или} \quad x+2=-1, $$

$$ x=-1 \quad \text{или} \quad x=-3. $$

2) Пусть $$t=x-\frac12.$$ Тогда $$x=t+\frac12,$$ а значит

$$ x-1=t-\frac12. $$

Подставим в уравнение:

$$ \left(t+\frac12\right)^4+\left(t-\frac12\right)^4=97. $$

Раскроем скобки:

$$ t^4+2t^3+\frac32t^2+\frac12t+\frac1{16} +t^4-2t^3+\frac32t^2-\frac12t+\frac1{16}=97, $$

$$ 2t^4+3t^2+\frac18=97, $$

$$ 16t^4+24t^2-775=0. $$

Обозначим $$u=t^2.$$ Тогда

$$ 16u^2+24u-775=0. $$

Дискриминант:

$$ D=24^2-4\cdot 16\cdot(-775)=576+49600=50176, $$

$$ \sqrt{D}=224. $$

Тогда

$$ u_1=\frac{-24-224}{32}=-\frac{31}{4}, \qquad u_2=\frac{-24+224}{32}=\frac{25}{4}. $$

Так как $$u=t^2\ge 0,$$ подходит только $$u=\frac{25}{4}.$$ Значит

$$ t=\pm \frac52. $$

Тогда

$$ x-\frac12=\frac52 \quad \text{или} \quad x-\frac12=-\frac52, $$

$$ x=3 \quad \text{или} \quad x=-2. $$

Ответ

1) $$x=-3,\,-1$$; 2) $$x=-2,\,3$$.