Упр.24.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$(x+3)^4+(x+1)^4=16$$; 2) $$x^4+(x-1)^4=97$$.
1) Пусть $$t=x+2.$$ Тогда $$x=t-2,$$ и уравнение примет вид
$$(t+1)^4+(t-1)^4=16.$$
Раскроем скобки:
$$t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=16,$$
$$2t^4+12t^2+2=16,$$
$$2t^4+12t^2-14=0,$$
$$t^4+6t^2-7=0.$$
Обозначим $$u=t^2.$$ Тогда
$$u^2+6u-7=0,$$
$$(u+7)(u-1)=0.$$
Отсюда $$u=-7$$ или $$u=1.$$ Так как $$u=t^2\ge 0,$$ получаем только $$t^2=1,$$ значит $$t=\pm 1.$$
Тогда
$$x+2=1 \quad \text{или} \quad x+2=-1,$$
$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=-3.$$
2) Пусть $$t=x-\frac12.$$ Тогда $$x=t+\frac12,$$ а значит
$$x-1=t-\frac12.$$
Подставим в уравнение:
$$\left(t+\frac12\right)^4+\left(t-\frac12\right)^4=97.$$
Раскроем скобки:
$$t^4+2t^3+\frac32t^2+\frac12t+\frac1{16} +t^4-2t^3+\frac32t^2-\frac12t+\frac1{16}=97,$$
$$2t^4+3t^2+\frac18=97,$$
$$16t^4+24t^2-775=0.$$
Обозначим $$u=t^2.$$ Тогда
$$16u^2+24u-775=0.$$
Дискриминант:
$$D=24^2-4\cdot 16\cdot(-775)=576+49600=50176,$$
$$\sqrt{D}=224.$$
Тогда
$$u_1=\frac{-24-224}{32}=-\frac{31}{4}, \qquad u_2=\frac{-24+224}{32}=\frac{25}{4}.$$
Так как $$u=t^2\ge 0,$$ подходит только $$u=\frac{25}{4}.$$ Значит
$$t=\pm \frac52.$$
Тогда
$$x-\frac12=\frac52 \quad \text{или} \quad x-\frac12=-\frac52,$$
$$x=3 \quad \text{или} \quad x=-2.$$
Ответ
1) $$x=-3,\,-1$$; 2) $$x=-2,\,3$$.
