Упр.24.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^4+5x^2 (x+1)=6(x+1)^2;
2) (x^2-3x+1)^2+3(x-1)(x^2-3x+1)=4(x-1)^2.

1) $$x^4+5x^2(x+1)=6(x+1)^2$$

Разделим обе части на $$x^4$$, при этом $$x \ne 0$$:

$$1+\frac{5(x+1)}{x^2}-\frac{6(x+1)^2}{x^4}=0.$$

Пусть $$\frac{x+1}{x^2}=t,$$ тогда $$\frac{(x+1)^2}{x^4}=t^2.$$ Получаем:

$$1+5t-6t^2=0$$

$$6t^2-5t-1=0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{12}.$$

Тогда

$$t_1=-\frac16,\qquad t_2=1.$$

Решаем два уравнения:

$$\frac{x+1}{x^2}=-\frac16 \;\Rightarrow\; 6(x+1)=-x^2 \;\Rightarrow\; x^2+6x+6=0,$$

$$D=36-24=12,$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 2\sqrt3}{2}=-3\pm \sqrt3.$$

$$\frac{x+1}{x^2}=1 \;\Rightarrow\; x+1=x^2 \;\Rightarrow\; x^2-x-1=0,$$

$$D=1+4=5,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2}.$$

2) $$(x^2-3x+1)^2+3(x-1)(x^2-3x+1)=4(x-1)^2$$

Разделим обе части на $$(x-1)^2,$$ при этом $$x\ne 1$$:

$$\frac{(x^2-3x+1)^2}{(x-1)^2}+\frac{3(x^2-3x+1)}{x-1}-4=0.$$

Пусть $$\frac{x^2-3x+1}{x-1}=t,$$ тогда $$\frac{(x^2-3x+1)^2}{(x-1)^2}=t^2.$$ Получаем:

$$t^2+3t-4=0.$$

$$t_1=-4,\qquad t_2=1.$$

Решаем два уравнения:

$$\frac{x^2-3x+1}{x-1}=-4 \;\Rightarrow\; x^2-3x+1=-4(x-1),$$

$$x^2+x-3=0,$$

$$D=1+12=13,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}.$$

$$\frac{x^2-3x+1}{x-1}=1 \;\Rightarrow\; x^2-3x+1=x-1,$$

$$x^2-4x+2=0,$$

$$D=16-8=8,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt2}{2}=2\pm \sqrt2.$$

Ответ

1) $$x=-3\pm \sqrt3,\quad x=\frac{1\pm \sqrt5}{2}.$$

2) $$x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2},\quad x=2\pm \sqrt2.$$