Упр.24.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1);
2) 20((x-2)/(x+1))^2-5((x+2)/(x-1))^2+48 (x^2-4)/(x^2-1)=0.

Подробный ответ

$$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$
Так как $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$$ получаем
$$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2-13(x-1)(x^2+x+1)=0.$$
Разделим на $$ (x-1)^2 $$, учитывая, что $$x\ne 1$$:
$$2\left(\frac{x^2+x+1}{x-1}\right)^2-13\left(\frac{x^2+x+1}{x-1}\right)-7=0.$$
Пусть
$$\frac{x^2+x+1}{x-1}=t.$$
Тогда
$$2t^2-13t-7=0.$$
$$D=13^2-4\cdot 2\cdot(-7)=169+56=225,$$
$$t_{1,2}=\frac{13\pm 15}{4}.$$
Отсюда
$$t_1=-\frac12,\qquad t_2=7.$$
Решаем два уравнения:
$$\frac{x^2+x+1}{x-1}=-\frac12 \Rightarrow 2(x^2+x+1)=-(x-1),$$
$$2x^2+3x+1=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=-\frac12.$$
$$\frac{x^2+x+1}{x-1}=7 \Rightarrow x^2+x+1=7(x-1),$$
$$x^2-6x+8=0,$$
$$x_3=2,\qquad x_4=4.$$
$$20\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2-5\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2+48\frac{x^2-4}{x^2-1}=0$$
ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne 1.$$
Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2-1=(x-1)(x+1),$$ то после преобразований и деления на $$\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2$$ получаем
$$20\left(\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x+2)}\right)^2+48\left(\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x+2)}\right)-5=0.$$
Пусть
$$\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x+2)}=t.$$
Тогда
$$20t^2+48t-5=0.$$
$$D=48^2-4\cdot 20\cdot(-5)=2304+400=2704,$$
$$t_{1,2}=\frac{-48\pm 52}{40}.$$
Отсюда
$$t_1=-\frac52,\qquad t_2=\frac1{10}.$$
Решаем два уравнения:
$$\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x+2)}=-\frac52 \Rightarrow 2(x-2)(x-1)=-5(x+1)(x+2),$$
$$7x^2+9x+14=0,$$
$$D=9^2-4\cdot 7\cdot 14<0,$$
корней нет.
$$\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x+2)}=\frac1{10} \Rightarrow 10(x-2)(x-1)=(x+1)(x+2),$$
$$9x^2-33x+18=0,$$
$$D=33^2-4\cdot 9\cdot 18=441,$$
$$x_{1,2}=\frac{33\pm 21}{18}.$$
Получаем
$$x_1=\frac23,\qquad x_2=3.$$