Упр.24.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 3x^2+5x+5/x+3/x^2 =16;
2) x^2+36/x^2 =112/5 (x/2-3/x);
3) (x^2+1)^2/(x(x+1)^2 )=625/112;
4) 4x^4-8x^3+3x^2-8x+4=0.

Подробный ответ

$$3x^2+5x+\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}=16,\quad x\ne 0$$
Положим $$t=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.$$
Получаем:
$$3(t^2-2)+5t-16=0$$
$$3t^2+5t-22=0$$
$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-22)=289,\quad \sqrt D=17$$
$$t_1=\frac{-5-17}{6}=-\frac{11}{3},\qquad t_2=\frac{-5+17}{6}=2$$
1) $$x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{3}$$
$$3x^2+11x+3=0$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot 3=85$$
$$x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{85}}{6}$$
2) $$x+\frac{1}{x}=2$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$x=1$$
$$x^2+\frac{36}{x^2}=\frac{112}{5}\left(\frac{x}{2}-\frac{3}{x}\right),\quad x\ne 0$$
Положим $$t=\frac{x}{2}-\frac{3}{x}.$$ Тогда
$$t^2=\frac{x^2}{4}-3+\frac{9}{x^2}=\frac14\left(x^2+\frac{36}{x^2}\right)-3,$$
откуда
$$x^2+\frac{36}{x^2}=4t^2+12.$$
Тогда
$$4t^2+12=\frac{112}{5}t$$
$$20t^2-112t+60=0$$
$$5t^2-28t+15=0$$
$$D=28^2-4\cdot 5\cdot 15=484,\quad \sqrt D=22$$
$$t_1=\frac{28-22}{10}=\frac35,\qquad t_2=\frac{28+22}{10}=5$$
1) $$\frac{x}{2}-\frac{3}{x}=\frac35$$
$$5x^2-6x-30=0$$
$$D=636=4\cdot 159$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 2\sqrt{159}}{10}=\frac{3\pm \sqrt{159}}{5}$$
2) $$\frac{x}{2}-\frac{3}{x}=5$$
$$x^2-10x-6=0$$
$$D=124=4\cdot 31$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 2\sqrt{31}}{2}=5\pm \sqrt{31}$$
$$\frac{(x^2+1)^2}{x(x+1)^2}=\frac{625}{112},\quad x\ne 0,\ x\ne -1$$
Умножим на $$112x(x+1)^2$$:
$$112(x^2+1)^2=625x(x+1)^2$$
Положим $$t=\frac{(x+1)^2}{x}.$$ Тогда
$$\frac{(x^2+1)^2}{x(x+1)^2}=\frac{1}{x}\left(\frac{x^2+1}{x+1}\right)^2,$$
и после преобразований получаем квадратное уравнение
$$112t^2-1073t+448=0.$$
$$D=1073^2-4\cdot 112\cdot 448=950625,\quad \sqrt D=975$$
$$t_1=\frac{1073-975}{224}=\frac{7}{16},\qquad t_2=\frac{1073+975}{224}=\frac{64}{7}$$
1) $$\frac{(x+1)^2}{x}=\frac{7}{16}$$
$$16x^2+25x+16=0$$
$$D=625-1024<0$$
Корней нет.
2) $$\frac{(x+1)^2}{x}=\frac{64}{7}$$
$$7x^2-50x+7=0$$
$$D=2304,\quad \sqrt D=48$$
$$x_1=\frac{50-48}{14}=\frac17,\qquad x_2=\frac{50+48}{14}=7$$
$$4x^4-8x^3+3x^2-8x+4=0,\quad x\ne 0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$4x^2-8x+3-\frac{8}{x}+\frac{4}{x^2}=0$$
$$4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-8\left(x+\frac{1}{x}\right)+3=0$$
Положим $$t=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда $$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.$$
Получаем:
$$4(t^2-2)-8t+3=0$$
$$4t^2-8t-5=0$$
$$D=144,\quad \sqrt D=12$$
$$t_1=\frac{8-12}{8}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{8+12}{8}=\frac52$$
1) $$x+\frac{1}{x}=-\frac12$$
$$2x^2+x+2=0$$
$$D=1-16<0$$
Корней нет.
2) $$x+\frac{1}{x}=\frac52$$
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=9$$
$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2$$