Упр.24.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x-2)^4+(x-3)^4=1; 2) (x+6)^4+(x+4)^4=82.

1) $$ (x-2)^4+(x-3)^4=1 $$

Пусть $$ t=x-\frac{5}{2} $$, тогда $$ x=t+\frac{5}{2}. $$

Тогда

$$ x-2=t+\frac{1}{2}, \qquad x-3=t-\frac{1}{2}. $$

Получаем:

$$ \left(t+\frac{1}{2}\right)^4+\left(t-\frac{1}{2}\right)^4=1. $$

Раскроем скобки:

$$ t^4+2\cdot 6\cdot t^2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{16} +t^4+2\cdot 6\cdot t^2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{16}=1, $$

$$ 2t^4+3t^2-\frac{7}{8}=0. $$

Умножим на $$8$$:

$$ 16t^4+24t^2-7=0. $$

Пусть $$ c=t^2 $$, тогда $$ t^4=c^2 $$:

$$ 16c^2+24c-7=0. $$

$$ D=24^2-4\cdot 16\cdot(-7)=576+448=1024, \qquad \sqrt{D}=32. $$

$$ c_1=\frac{-24-32}{32}=-\frac{7}{4}, \qquad c_2=\frac{-24+32}{32}=\frac{1}{4}. $$

Так как $$ t^2\ge 0 $$, значение $$ c_1=-\frac{7}{4} $$ не подходит. Тогда

$$ t^2=\frac{1}{4}, \qquad t=\pm \frac{1}{2}. $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow x=3, \qquad x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=2. $$

2) $$ (x+6)^4+(x+4)^4=82 $$

Пусть $$ t=x+5 $$, тогда $$ x=t-5. $$

Тогда

$$ x+6=t+1, \qquad x+4=t-1. $$

Получаем:

$$ (t+1)^4+(t-1)^4=82. $$

Раскроем скобки:

$$ t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=82, $$

$$ 2t^4+12t^2-80=0. $$

Разделим на $$2$$:

$$ t^4+6t^2-40=0. $$

Пусть $$ c=t^2 $$, тогда $$ t^4=c^2 $$:

$$ c^2+6c-40=0. $$

$$ D=6^2-4\cdot 1\cdot(-40)=36+160=196, \qquad \sqrt{D}=14. $$

$$ c_1=\frac{-6-14}{2}=-10, \qquad c_2=\frac{-6+14}{2}=4. $$

Так как $$ t^2\ge 0 $$, значение $$ c_1=-10 $$ не подходит. Тогда

$$ t^2=4, \qquad t=\pm 2. $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ x+5=2 \Rightarrow x=-3, \qquad x+5=-2 \Rightarrow x=-7. $$

Ответ

1) $$x=2,\; x=3$$; 2) $$x=-7,\; x=-3$$.