Упр.24.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 4x^2+12x+12/x+4/x^2 =47;
2) 2(2/x-x/3)=2/x^2 +x^2/18+4/3;
3) 12x^2+1/(3x^2 )+10(2x+1/3x)+11=0;
4) (x(x-1)^2)/(x^2-x+1)^2 =2/9;
5) x^4-2x^3-18x^2-6x+9=0.

Подробный ответ

$$4x^2+12x+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^2}=47,\qquad x\ne 0$$
$$4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+12\left(x+\frac{1}{x}\right)-47=0$$
Пусть $$x+\frac{1}{x}=t,$$ тогда $$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.$$
Получаем:
$$4(t^2-2)+12t-47=0$$
$$4t^2+12t-55=0$$
$$D=12^2-4\cdot 4\cdot(-55)=1024,\qquad \sqrt D=32$$
$$t_1=\frac{-12-32}{8}=-\frac{11}{2},\qquad t_2=\frac{-12+32}{8}=\frac{5}{2}$$
1) $$x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{2}$$
$$2x^2+11x+2=0$$
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 2=105$$
$$x=\frac{-11\pm \sqrt{105}}{4}$$
2) $$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$$
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2$$
$$2\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{3}\right)=\frac{2}{x^2}+\frac{x^2}{18}+\frac{4}{3},\qquad x\ne 0$$
Пусть $$\frac{2}{x}-\frac{x}{3}=t,$$ тогда
$$\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{3}\right)^2=t^2$$
$$\frac{4}{x^2}-\frac{4}{3}+\frac{x^2}{9}=t^2$$
$$2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{x^2}{18}\right)-\frac{4}{3}=t^2$$
$$2t=t^2+2$$
$$t^2-2t+2=0$$
$$t=2$$
Тогда
$$\frac{2}{x}-\frac{x}{3}=2$$
$$6-x^2=6x$$
$$x^2+6x-6=0$$
$$D=36+24=60$$
$$x=\frac{-6\pm \sqrt{60}}{2}=-3\pm \sqrt{15}$$
$$12x^2+\frac{1}{3x^2}+10\left(2x+\frac{1}{3x}\right)+11=0,\qquad x\ne 0$$
Пусть $$2x+\frac{1}{3x}=t,$$ тогда
$$\left(2x+\frac{1}{3x}\right)^2=t^2$$
$$4x^2+\frac{4}{3}+\frac{1}{9x^2}=t^2$$
$$\frac{1}{3}\left(12x^2+\frac{1}{3x^2}\right)+\frac{4}{3}=t^2$$
$$12x^2+\frac{1}{3x^2}=3t^2-4$$
Подставим в уравнение:
$$3t^2-4+10t+11=0$$
$$3t^2+10t+7=0$$
$$D=100-84=16$$
$$t_1=\frac{-10-4}{6}=-\frac{7}{3},\qquad t_2=\frac{-10+4}{6}=-1$$
1) $$2x+\frac{1}{3x}=-\frac{7}{3}$$
$$6x^2+7x+1=0$$
$$D=49-24=25$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=-\frac16$$
2) $$2x+\frac{1}{3x}=-1$$
$$6x^2+3x+1=0$$
$$D=9-24<0$$
Корней нет.
$$\frac{x(x-1)^2}{(x^2-x+1)^2}=\frac{2}{9},\qquad x^2-x+1\ne 0$$
$$9x(x-1)^2=2(x^2-x+1)^2$$
Пусть $$\frac{(x-1)^2}{x}=t,$$ тогда $$\frac{(x-1)^4}{x^2}=t^2.$$
После преобразований получаем:
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2$$
1) $$\frac{(x-1)^2}{x}=\frac12$$
$$2(x^2-2x+1)=x$$
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=9$$
$$x_1=\frac12,\qquad x_2=2$$
2) $$\frac{(x-1)^2}{x}=2$$
$$x^2-2x+1=2x$$
$$x^2-4x+1=0$$
$$D=16-4=12$$
$$x=2\pm \sqrt3$$
$$x^4-2x^3-18x^2-6x+9=0,\qquad x\ne 0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$x^2-2x-18-\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}=0$$
$$\left(x^2+\frac{9}{x^2}\right)-2\left(x+\frac{3}{x}\right)-18=0$$
Пусть $$x+\frac{3}{x}=t,$$ тогда
$$x^2+\frac{9}{x^2}=t^2-6$$
Получаем:
$$t^2-6-2t-18=0$$
$$t^2-2t-24=0$$
$$t_1=6,\qquad t_2=-4$$
1) $$x+\frac{3}{x}=6$$
$$x^2-6x+3=0$$
$$D=36-12=24$$
$$x=3\pm \sqrt6$$
2) $$x+\frac{3}{x}=-4$$
$$x^2+4x+3=0$$
$$x=-3,\qquad x=-1$$