Упр.24.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3x^2=0;
2) (x-4)(x+5)(x+10)(x-2)=18x^2.

1) $$4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3x^2=0$$

Сгруппируем множители:

$$4(x^2+17x+60)(x^2+16x+60)-3x^2=0$$

Так как в дальнейшем делим на $$x^2$$, то отдельно проверим случай $$x=0$$: он не подходит.

Разделим уравнение на $$x^2$$:

$$4\left(x+\frac{17x+60}{x}\right)\left(x+\frac{16x+60}{x}\right)-3=0$$

Удобно ввести замену:

$$t=x+\frac{60}{x}+16$$

Тогда

$$x+\frac{60}{x}+17=t+1$$

Получаем:

$$4t(t+1)-3=0$$

$$4t^2+4t-3=0$$

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64$$

$$t_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8}$$

$$t_1=-\frac{3}{2},\qquad t_2=\frac{1}{2}$$

Возвращаемся к переменной $$x$$.

1) $$x+\frac{60}{x}+16=-\frac{3}{2}$$

Умножим на $$2x$$:

$$2x^2+120+32x+3x=0$$

$$2x^2+35x+120=0$$

$$D=35^2-4\cdot 2\cdot 120=1225-960=265$$

$$x_{1,2}=\frac{-35\pm \sqrt{265}}{4}$$

2) $$x+\frac{60}{x}+16=\frac{1}{2}$$

Умножим на $$2x$$:

$$2x^2+120+32x-x=0$$

$$2x^2+31x+120=0$$

$$D=31^2-4\cdot 2\cdot 120=961-960=1$$

$$x_{1,2}=\frac{-31\pm 1}{4}$$

$$x_1=-8,\qquad x_2=-\frac{15}{2}$$

2) $$ (x-4)(x+5)(x+10)(x-2)=18x^2 $$

Перегруппируем множители:

$$ (x^2+x-20)(x^2+8x-20)-18x^2=0 $$

Разделим на $$x^2$$, $$x\ne 0$$:

$$\left(x+1-\frac{20}{x}\right)\left(x+8-\frac{20}{x}\right)-18=0$$

Пусть

$$t=x+1-\frac{20}{x}$$

Тогда

$$x+8-\frac{20}{x}=t+7$$

Получаем:

$$t(t+7)-18=0$$

$$t^2+7t-18=0$$

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-18)=49+72=121$$

$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{2}$$

$$t_1=-9,\qquad t_2=2$$

Возвращаемся к $$x$$.

1) $$x+1-\frac{20}{x}=-9$$

$$x^2+10x-20=0$$

$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-20)=100+80=180$$

$$x_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{180}}{2}=-5\pm 3\sqrt{5}$$

2) $$x+1-\frac{20}{x}=2$$

$$x^2-x-20=0$$

$$x_1=5,\qquad x_2=-4$$

Ответ

1) $$x=-8,\; x=-\frac{15}{2},\; x=\frac{-35\pm \sqrt{265}}{4}$$

2) $$x=-4,\; x=5,\; x=-5\pm 3\sqrt{5}$$