Упр.24.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (2x^2-5x+2)(2x^2+7x+2)=-20x^2;
2) (x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^2.

1) $$\left(2x^2-5x+2\right)\left(2x^2+7x+2\right)=-20x^2$$

Так как в дальнейшем делим на $$x^2$$, то $$x\ne 0$$.

Разделим обе части уравнения на $$x^2$$:

$$\frac{2x^2-5x+2}{x}\cdot \frac{2x^2+7x+2}{x}=-20$$

$$\left(2x-5+\frac{2}{x}\right)\left(2x+7+\frac{2}{x}\right)+20=0$$

Пусть $$2x+\frac{2}{x}-5=t$$, тогда $$2x+\frac{2}{x}+7=t+12$$. Получаем:

$$t(t+12)+20=0$$

$$t^2+12t+20=0$$

$$t_1=-10,\quad t_2=-2$$

Решим два уравнения:

$$2x+\frac{2}{x}-5=-10$$

$$2x+\frac{2}{x}=-5$$

$$2x^2+5x+2=0$$

$$D=25-16=9$$

$$x_1=\frac{-5-3}{4}=-2,\quad x_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac12$$

Теперь:

$$2x+\frac{2}{x}-5=-2$$

$$2x+\frac{2}{x}=3$$

$$2x^2-3x+2=0$$

$$D=9-16=-7<0$$

Корней нет.

2) $$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+8\right)\left(x+12\right)=4x^2$$

Так как далее делим на $$x^2$$, то $$x\ne 0$$.

Сгруппируем множители:

$$\left(x+2\right)\left(x+12\right)\left(x+3\right)\left(x+8\right)=4x^2$$

$$\left(x^2+14x+24\right)\left(x^2+11x+24\right)=4x^2$$

Разделим на $$x^2$$:

$$\left(x+14+\frac{24}{x}\right)\left(x+11+\frac{24}{x}\right)=4$$

Пусть $$x+\frac{24}{x}+11=t$$, тогда $$x+\frac{24}{x}+14=t+3$$. Тогда:

$$t(t+3)=4$$

$$t^2+3t-4=0$$

$$t_1=-4,\quad t_2=1$$

Решим два уравнения:

$$x+\frac{24}{x}+11=-4$$

$$x+\frac{24}{x}=-15$$

$$x^2+15x+24=0$$

$$D=225-96=129$$

$$x_{1,2}=\frac{-15\pm \sqrt{129}}{2}$$

И:

$$x+\frac{24}{x}+11=1$$

$$x+\frac{24}{x}=-10$$

$$x^2+10x+24=0$$

$$\left(x+6\right)\left(x+4\right)=0$$

$$x=-6,\quad x=-4$$

Ответ

1) $$x=-2,\; -\frac12$$; 2) $$x=-6,\; -4,\; \frac{-15-\sqrt{129}}{2},\; \frac{-15+\sqrt{129}}{2}$$.