Упр.24.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^4+8x^3+10x^2-24x+5=0;
2) x^4+4x^3-10x^2-28x-15=0;
3) 10x^2 (x-2)^2=9(x^2+(x-2)^2 ).

1. $$x^4+8x^3+10x^2-24x+5=0$$

   $$x^4+8x^3+16x^2-6x^2-24x+5=0$$

   $$(x^2+4x)^2-6(x^2+4x)+5=0$$

   Пусть $$x^2+4x=t$$, тогда получаем:
   $$t^2-6t+5=0$$

   $$t_1=5,\quad t_2=1$$

   Решаем два уравнения:

   $$x^2+4x=5$$
   $$x^2+4x-5=0$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=1$$

   $$x^2+4x=1$$
   $$x^2+4x-1=0$$
   $$D=16+4=20$$
   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2}=-2\pm\sqrt5$$

2. $$x^4+4x^3-10x^2-28x-15=0$$

   $$x^4+4x^3+4x^2-14x^2-28x-15=0$$

   $$(x^2+2x)^2-14(x^2+2x)-15=0$$

   Пусть $$x^2+2x=t$$, тогда:
   $$t^2-14t-15=0$$

   $$t_1=15,\quad t_2=-1$$

   Решаем два уравнения:

   $$x^2+2x=15$$
   $$x^2+2x-15=0$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=3$$

   $$x^2+2x=-1$$
   $$x^2+2x+1=0$$
   $$(x+1)^2=0$$
   $$x=-1$$

3. $$10x^2(x-2)^2=9\bigl(x^2+(x-2)^2\bigr)$$

   $$10x^2(x-2)^2=9(x^2+x^2-4x+4)$$

   $$10x^2(x-2)^2=9(2x^2-4x+4)$$

   $$10(x^2-2x)^2=9\bigl(2(x^2-2x)+4\bigr)$$

   $$10(x^2-2x)^2-18(x^2-2x)-36=0$$

   Пусть $$x^2-2x=t$$, тогда:
   $$10t^2-18t-36=0$$

   $$5t^2-9t-18=0$$

   $$D=81+360=441$$
   $$\sqrt{D}=21$$
   $$t_1=\frac{9-21}{10}=-\frac65,\quad t_2=\frac{9+21}{10}=3$$

   Решаем два уравнения:

   $$x^2-2x=-\frac65$$
   $$5x^2-10x+6=0$$
   $$D=100-120=-20$$
   Корней нет.

   $$x^2-2x=3$$
   $$x^2-2x-3=0$$
   $$x_1=3,\quad x_2=-1$$

Ответ

1) $$x=-5,\;1,\;-2-\sqrt5,\;-2+\sqrt5$$;
2) $$x=-5,\;-1,\;3$$;
3) $$x=-1,\;3$$.