Упр.24.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$(x-4)(x+2)(x+8)(x+14)=1204$$; 2) $$(x+3)(x+1)(x+5)(x+7)=-16$$.

1. $$(x-4)(x+2)(x+8)(x+14)=1204$$

   Сгруппируем множители:

   $$(x-4)(x+14)\,(x+2)(x+8)=1204$$

   $$(x^2+10x-56)(x^2+10x+16)=1204$$

   Пусть $$t=x^2+10x-56$$, тогда $$x^2+10x+16=t+72$$. Получаем:

   $$t(t+72)=1204$$

   $$t^2+72t-1204=0$$

   $$D=72^2+4\cdot1204=5184+4816=10000$$

   $$t_{1,2}=\frac{-72\pm100}{2}$$

   $$t_1=14,\quad t_2=-86$$

   1) $$x^2+10x-56=14$$

   $$x^2+10x-70=0$$

   $$D=100+280=380$$

   $$x=\frac{-10\pm\sqrt{380}}{2}=-5\pm\sqrt{95}$$

   2) $$x^2+10x-56=-86$$

   $$x^2+10x+30=0$$

   $$D=100-120=-20<0$$

   Корней нет.

2. $$(x+3)(x+1)(x+5)(x+7)=-16$$

   Сгруппируем множители:

   $$(x+3)(x+5)\,(x+1)(x+7)=-16$$

   $$(x^2+8x+15)(x^2+8x+7)=-16$$

   Пусть $$t=x^2+8x+7$$, тогда $$x^2+8x+15=t+8$$. Получаем:

   $$t(t+8)=-16$$

   $$t^2+8t+16=0$$

   $$(t+4)^2=0$$

   $$t=-4$$

   Тогда:

   $$x^2+8x+7=-4$$

   $$x^2+8x+11=0$$

   $$D=64-44=20$$

   $$x=\frac{-8\pm\sqrt{20}}{2}=-4\pm\sqrt{5}$$

Ответ

1) $$x=-5\pm\sqrt{95}$$; 2) $$x=-4\pm\sqrt{5}$$.