Упр.24.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680$$;
   2) $$x(x+3)(x+5)(x+8)=100$$.

1. $$(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680$$

   Сгруппируем множители:
   $$(x-4)(x-7)\cdot(x-5)(x-6)=1680$$
   $$(x^2-11x+28)(x^2-11x+30)=1680$$

   Пусть $$x^2-11x+28=t$$, тогда $$x^2-11x+30=t+2$$. Получаем:
   $$t(t+2)=1680$$
   $$t^2+2t-1680=0$$
   $$t_1=-42,\quad t_2=40$$

   Рассмотрим оба случая:
   $$x^2-11x+28=-42$$
   $$x^2-11x+70=0$$
   $$D=121-280=-159<0$$ Корней нет.

   $$x^2-11x+28=40$$
   $$x^2-11x-12=0$$
   $$D=121+48=169$$
   $$x_{1,2}=\frac{11\pm 13}{2}$$
   $$x_1=12,\quad x_2=-1$$

2. $$x(x+3)(x+5)(x+8)=100$$

   Сгруппируем множители:
   $$x(x+8)\cdot(x+3)(x+5)=100$$
   $$(x^2+8x)(x^2+8x+15)=100$$

   Пусть $$x^2+8x=t$$, тогда $$x^2+8x+15=t+15$$. Получаем:
   $$t(t+15)=100$$
   $$t^2+15t-100=0$$
   $$t_1=-20,\quad t_2=5$$

   Рассмотрим оба случая:
   $$x^2+8x=-20$$
   $$x^2+8x+20=0$$
   $$D=64-80=-16<0$$ Корней нет.

   $$x^2+8x=5$$
   $$x^2+8x-5=0$$
   $$D=64+20=84$$
   $$x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{84}}{2}=\frac{-8\pm 2\sqrt{21}}{2}=-4\pm\sqrt{21}$$

Ответ

1) $$x=-1,\ 12$$;
2) $$x=-4\pm\sqrt{21}$$.