Упр.24.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680;
2) x(x+3)(x+5)(x+8)=100.

1. $$ (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680 $$

   Сгруппируем множители:
   $$ (x-4)(x-7)\cdot(x-5)(x-6)=1680 $$
   $$ (x^2-11x+28)(x^2-11x+30)=1680 $$

   Пусть $$x^2-11x+28=t$$, тогда $$x^2-11x+30=t+2$$. Получаем:
   $$ t(t+2)=1680 $$
   $$ t^2+2t-1680=0 $$
   $$ t_1=-42,\quad t_2=40 $$

   Рассмотрим оба случая:
   $$ x^2-11x+28=-42 $$
   $$ x^2-11x+70=0 $$
   $$ D=121-280=-159<0 $$ Корней нет.

   $$ x^2-11x+28=40 $$
   $$ x^2-11x-12=0 $$
   $$ D=121+48=169 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{11\pm 13}{2} $$
   $$ x_1=12,\quad x_2=-1 $$

2. $$ x(x+3)(x+5)(x+8)=100 $$

   Сгруппируем множители:
   $$ x(x+8)\cdot(x+3)(x+5)=100 $$
   $$ (x^2+8x)(x^2+8x+15)=100 $$

   Пусть $$x^2+8x=t$$, тогда $$x^2+8x+15=t+15$$. Получаем:
   $$ t(t+15)=100 $$
   $$ t^2+15t-100=0 $$
   $$ t_1=-20,\quad t_2=5 $$

   Рассмотрим оба случая:
   $$ x^2+8x=-20 $$
   $$ x^2+8x+20=0 $$
   $$ D=64-80=-16<0 $$ Корней нет.

   $$ x^2+8x=5 $$
   $$ x^2+8x-5=0 $$
   $$ D=64+20=84 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{84}}{2}=\frac{-8\pm 2\sqrt{21}}{2}=-4\pm\sqrt{21} $$

Ответ

1) $$x=-1,\ 12$$;
2) $$x=-4\pm\sqrt{21}$$.