Упр.24.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x^2+x+1)^2-3x^2-3x-1=0;
2) (x^2-5x)(x+3)(x-8)+108=0.

1. $$\left(x^2+x+1\right)^2-3x^2-3x-1=0$$

   Преобразуем:
   $$\left(x^2+x+1\right)^2-3\left(x^2+x+1\right)+2=0.$$

   Пусть $$t=x^2+x+1$$, тогда получаем:
   $$t^2-3t+2=0,$$
   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$

   Значит,
   $$t=1 \text{ или } t=2.$$

   1) Если $$x^2+x+1=1,$$ то
   $$x^2+x=0,$$
   $$x\left(x+1\right)=0,$$
   откуда $$x=0$$ или $$x=-1.$$

   2) Если $$x^2+x+1=2,$$ то
   $$x^2+x-1=0.$$
   Тогда
   $$D=1+4=5,$$
   $$x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

2. $$\left(x^2-5x\right)\left(x+3\right)\left(x-8\right)+108=0$$

   Перемножим вторые множители:
   $$\left(x+3\right)\left(x-8\right)=x^2-5x-24.$$
   Тогда
   $$\left(x^2-5x\right)\left(x^2-5x-24\right)+108=0.$$

   Пусть $$t=x^2-5x,$$ тогда:
   $$t\left(t-24\right)+108=0,$$
   $$t^2-24t+108=0,$$
   $$\left(t-6\right)\left(t-18\right)=0.$$

   Значит,
   $$t=6 \text{ или } t=18.$$

   1) Если $$x^2-5x=6,$$ то
   $$x^2-5x-6=0,$$
   $$\left(x-6\right)\left(x+1\right)=0,$$
   откуда $$x=6$$ или $$x=-1.$$

   2) Если $$x^2-5x=18,$$ то
   $$x^2-5x-18=0.$$
   Тогда
   $$D=25+72=97,$$
   $$x=\frac{5\pm\sqrt{97}}{2}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{-1-\sqrt5}{2},\ -1,\ 0,\ \frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
2) $$x=-1,\ 6,\ \frac{5-\sqrt{97}}{2},\ \frac{5+\sqrt{97}}{2}.$$