Упр.24.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (8x^2-3x+1)^2=32x^2-12x+1;
2) (x^2-5x+7)(x-2)(x-3)=2.

1. $$\left(8x^2-3x+1\right)^2=32x^2-12x+1$$

   Заметим, что
   $$32x^2-12x+1=4\left(8x^2-3x+1\right)-3.$$
   Тогда

   $$\left(8x^2-3x+1\right)^2=4\left(8x^2-3x+1\right)-3.$$

   Пусть $$t=8x^2-3x+1$$. Получим:
   $$t^2=4t-3,$$
   $$t^2-4t+3=0,$$
   $$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0.$$
   Значит,
   $$t=1 \text{ или } t=3.$$

   Решаем два уравнения:

   $$8x^2-3x+1=1,$$
   $$8x^2-3x=0,$$
   $$x\left(8x-3\right)=0,$$
   $$x=0 \text{ или } x=\frac{3}{8}.$$

   $$8x^2-3x+1=3,$$
   $$8x^2-3x-2=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=\left(-3\right)^2-4\cdot 8\cdot\left(-2\right)=9+64=73.$$
   Тогда
   $$x=\frac{3\pm\sqrt{73}}{16}.$$

2. $$\left(x^2-5x+7\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=2$$

   Так как
   $$\left(x-2\right)\left(x-3\right)=x^2-5x+6,$$
   то
   $$\left(x^2-5x+7\right)\left(x^2-5x+6\right)=2.$$

   Пусть $$t=x^2-5x+6$$, тогда $$x^2-5x+7=t+1$$. Получаем:
   $$t\left(t+1\right)=2,$$
   $$t^2+t-2=0,$$
   $$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0.$$
   Значит,
   $$t=-2 \text{ или } t=1.$$

   Рассмотрим оба случая:

   $$x^2-5x+6=-2,$$
   $$x^2-5x+8=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=25-32=-7<0,$$ корней нет.

   $$x^2-5x+6=1,$$
   $$x^2-5x+5=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=25-20=5.$$
   Тогда
   $$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}.$$

Ответ

1) $$x=0,\ \frac{3}{8},\ \frac{3-\sqrt{73}}{16},\ \frac{3+\sqrt{73}}{16}$$

2) $$x=\frac{5-\sqrt{5}}{2},\ \frac{5+\sqrt{5}}{2}$$