Упр.24.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 24/(x^2+2x-8)-15/(x^2+2x-3)=2;
2) 3/(1+x+x^2 )=3-x-x^2;
3) (x^2+x-3)/2-3/(2x^2+2x-6)=1;
4) 6/(x+1)(x+2) +8/(x-1)(x+4) =1.

Подробный ответ

$$\frac{24}{x^2+2x-8}-\frac{15}{x^2+2x-3}=2.$$
Пусть $$x^2+2x-3=t,$$ тогда $$x^2+2x-8=t-5.$$ Получаем:
$$\frac{24}{t-5}-\frac{15}{t}=2,$$
$$24t-15(t-5)-2t(t-5)=0,$$
$$-2t^2+19t+75=0,$$
$$2t^2-19t-75=0.$$
$$D=19^2+4\cdot 2\cdot 75=361+600=961,$$
$$t_1=\frac{19-31}{4}=-3,\qquad t_2=\frac{19+31}{4}=\frac{25}{2}.$$
Тогда:
$$x^2+2x-3=-3 \quad \text{или} \quad x^2+2x-3=\frac{25}{2}.$$
1) $$x^2+2x=0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-2.$$
2) $$x^2+2x-\frac{31}{2}=0 \Rightarrow 2x^2+4x-31=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 2\cdot(-31)=16+248=264=4\cdot 66,$$
$$x=\frac{-4\pm 2\sqrt{66}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{66}}{2}.$$
$$\frac{3}{1+x+x^2}=3-x-x^2.$$
Пусть $$x^2+x=t,$$ тогда $$1+x+x^2=t+1.$$ Получаем:
$$\frac{3}{t+1}=3-t,$$
$$3=(3-t)(t+1),$$
$$3=3+t-3t-t^2,$$
$$t^2-2t=0,$$
$$t(t-2)=0.$$
Значит, $$t=0$$ или $$t=2.$$
1) $$x^2+x=0 \Rightarrow x(x+1)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-1.$$
2) $$x^2+x=2 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow (x+2)(x-1)=0,$$
откуда $$x=-2$$ или $$x=1.$$
$$\frac{x^2+x-3}{2}-\frac{3}{2x^2+2x-6}=1.$$
Пусть $$x^2+x-3=t,$$ тогда $$2x^2+2x-6=2t.$$ Получаем:
$$\frac{t}{2}-\frac{3}{2t}=1,$$
$$t^2-2t-3=0,$$
$$ (t-3)(t+1)=0.$$
Значит, $$t=3$$ или $$t=-1.$$
1) $$x^2+x-3=3 \Rightarrow x^2+x-6=0 \Rightarrow (x+3)(x-2)=0,$$
откуда $$x=-3$$ или $$x=2.$$
2) $$x^2+x-3=-1 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow (x+2)(x-1)=0,$$
откуда $$x=-2$$ или $$x=1.$$
$$\frac{6}{(x+1)(x+2)}+\frac{8}{(x-1)(x+4)}=1.$$
Пусть $$x^2+3x+2=t,$$ тогда $$x^2+3x-4=t-6.$$ Получаем:
$$\frac{6}{t}+\frac{8}{t-6}=1,$$
$$6(t-6)+8t-t(t-6)=0,$$
$$-t^2+20t-36=0,$$
$$t^2-20t+36=0.$$
$$D=20^2-4\cdot 36=400-144=256,$$
$$t_1=18,\qquad t_2=2.$$
1) $$x^2+3x+2=18 \Rightarrow x^2+3x-16=0,$$
$$D=3^2+4\cdot 16=73,$$
$$x=\frac{-3\pm \sqrt{73}}{2}.$$
2) $$x^2+3x+2=2 \Rightarrow x^2+3x=0 \Rightarrow x(x+3)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=-3.$$