Упр.24.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2+2x+1)/(x^2+2x+2)+(x^2+2x+2)/(x^2+2x+3)=7/6;
2) (x^2+2x+7)/(x^2+2x+3)=4+2x+x^2;
3) (3x^2-9x)/2-12/(x^2-3x)=3;
4) 1/x(x+2) -1/(x+1)^2 =1/12.

Подробный ответ

$$\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+2}+\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+3}=\frac76.$$
Пусть $$x^2+2x+1=t,$$ тогда $$x^2+2x+2=t+1,$$ $$x^2+2x+3=t+2.$$
Получаем:
$$\frac{t}{t+1}+\frac{t+1}{t+2}=\frac76,$$
$$6t(t+2)+6(t+1)^2=7(t+1)(t+2).$$
$$6t^2+12t+6t^2+12t+6=7t^2+21t+14,$$
$$5t^2+3t-8=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 5\cdot(-8)=169,$$
$$t_1=\frac{-3-13}{10}=-\frac85,\qquad t_2=\frac{-3+13}{10}=1.$$
Тогда:
$$x^2+2x+1=-\frac85 \Rightarrow x^2+2x+\frac{13}{5}=0,$$
$$D=4-\frac{52}{5}<0,$$
корней нет.
$$x^2+2x+1=1 \Rightarrow x^2+2x=0 \Rightarrow x(x+2)=0.$$
$$x=0 \text{ или } x=-2.$$
$$\frac{x^2+2x+7}{x^2+2x+3}=4+2x+x^2.$$
Пусть $$x^2+2x+3=t,$$ тогда $$x^2+2x+7=t+4,$$ а правая часть равна $$x^2+2x+4=t+1.$$
Тогда:
$$\frac{t+4}{t}=t+1,\qquad t\ne 0.$$
$$t+4=t(t+1),$$
$$t^2-4=0,$$
$$t_1=2,\qquad t_2=-2.$$
Если $$t=2,$$ то
$$x^2+2x+3=2 \Rightarrow x^2+2x+1=0 \Rightarrow (x+1)^2=0,$$
$$x=-1.$$
Если $$t=-2,$$ то
$$x^2+2x+3=-2 \Rightarrow x^2+2x+5=0,$$
$$D=4-20<0,$$
корней нет.
$$\frac{3x^2-9x}{2}-\frac{12}{x^2-3x}=3.$$
Пусть $$x^2-3x=t,$$ тогда $$3x^2-9x=3t.$$
Получаем:
$$\frac{3t}{2}-\frac{12}{t}=3,\qquad t\ne 0.$$
Умножим на $$2t$$:
$$3t^2-24=6t,$$
$$3t^2-6t-24=0,$$
$$t^2-2t-8=0,$$
$$t_1=4,\qquad t_2=-2.$$
Если $$t=4,$$ то
$$x^2-3x=4 \Rightarrow x^2-3x-4=0,$$
$$x_1=4,\qquad x_2=-1.$$
Если $$t=-2,$$ то
$$x^2-3x=-2 \Rightarrow x^2-3x+2=0,$$
$$x_1=1,\qquad x_2=2.$$
$$\frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{12}.$$
Пусть $$x^2+2x=t,$$ тогда $$x^2+2x+1=t+1.$$
Тогда:
$$\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}=\frac{1}{12},\qquad t\ne 0,\ t\ne -1.$$
$$\frac{12(t+1)-12t-t(t+1)}{12t(t+1)}=0,$$
$$-t^2-t+12=0,$$
$$t^2+t-12=0,$$
$$t_1=-4,\qquad t_2=3.$$
Если $$t=-4,$$ то
$$x^2+2x=-4 \Rightarrow x^2+2x+4=0,$$
$$D=4-16<0,$$
корней нет.
Если $$t=3,$$ то
$$x^2+2x=3 \Rightarrow x^2+2x-3=0,$$
$$x_1=-3,\qquad x_2=1.$$