Упр.24.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^4-5x^2+4=0; 2) x^4-8x^2-9=0;
3) 4x^4-9x^2+2=0; 4) 3x^4+8x^2-3=0.

1. $$x^4-5x^2+4=0.$$

   Пусть $$x^2=t,$$ тогда $$x^4=t^2.$$ Получаем:

   $$t^2-5t+4=0.$$

   $$t_1=4,\quad t_2=1.$$

   Тогда

   $$x^2=4 \quad \text{или} \quad x^2=1.$$

   Отсюда

   $$x=\pm 2,\quad x=\pm 1.$$

2. $$x^4-8x^2-9=0.$$

   Пусть $$x^2=t,$$ тогда $$x^4=t^2.$$ Получаем:

   $$t^2-8t-9=0.$$

   $$t_1=9,\quad t_2=-1.$$

   Тогда

   $$x^2=9 \quad \text{или} \quad x^2=-1.$$

   Уравнение $$x^2=-1$$ не имеет действительных корней. Из $$x^2=9$$ получаем:

   $$x=\pm 3.$$

3. $$4x^4-9x^2+2=0.$$

   Пусть $$x^2=t,$$ тогда $$x^4=t^2.$$ Получаем:

   $$4t^2-9t+2=0.$$

   $$D=81-32=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{8}.$$

   Следовательно,

   $$t_1=\frac14,\quad t_2=2.$$

   Тогда

   $$x^2=\frac14 \quad \text{или} \quad x^2=2.$$

   Отсюда

   $$x=\pm \frac12,\quad x=\pm \sqrt2.$$

4. $$3x^4+8x^2-3=0.$$

   Пусть $$x^2=t,$$ тогда $$x^4=t^2.$$ Получаем:

   $$3t^2+8t-3=0.$$

   $$D=64+36=100,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{6}.$$

   Следовательно,

   $$t_1=-3,\quad t_2=\frac13.$$

   Уравнение $$x^2=-3$$ не имеет действительных корней. Из $$x^2=\frac13$$ получаем:

   $$x=\pm \sqrt{\frac13}=\pm \frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ

1) $$x=\pm 2,\ \pm 1$$; 2) $$x=\pm 3$$; 3) $$x=\pm \frac12,\ \pm \sqrt2$$; 4) $$x=\pm \frac{\sqrt3}{3}$$.