Упр.230 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Какому из выражений равно выражение $$a^{-6}$$:
   1) $$-a^6$$;
   2) $$\frac{1}{a^{-6}}$$;
   3) $$\frac{1}{a^6}$$;
   4) $$-\frac{1}{a^6}$$?
2. Существует ли натуральное число, которое при умножении на $$2$$ становится квадратом натурального числа, а при умножении на $$3$$ — кубом натурального числа?

1) $$a^{-6}=\frac{1}{a^6}$$, значит верный вариант — 3.

2) Пусть искомое натуральное число равно $$n$$. Тогда по условию

$$2n=a^2,\qquad 3n=b^3$$

для некоторых натуральных $$a$$ и $$b$$.

Чтобы $$2n$$ было квадратом, в разложении числа $$n$$ должна быть нечётная степень двойки. Чтобы $$3n$$ было кубом, в разложении $$n$$ должна быть степень тройки, дающая в сумме кратность 3.

Подходит число

$$n=2^3\cdot 3^2=72.$$

Проверим:

$$72\cdot 2=144=12^2,$$

$$72\cdot 3=216=6^3.$$

Значит, такое число существует.

Ответ

1) $$3$$; 2) да, существует, например $$72$$.