Упр.23.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (2x-1)/(x+1)+(3x-1)/(x+2)=(x-7)/(x-1)+4;
2) (x^2+4x+4)/(x+4)-(2x+6)/(x+2)=(x^2+x+1)/(x+1)-(2x+9)/(x+3);
3) (x-1)/(x+2)-(x-2)/(x+3)=(x-4)/(x+5)-(x-5)/(x+6).

Подробный ответ

$$\frac{2x-1}{x+1}+\frac{3x-1}{x+2}=\frac{x-7}{x-1}+4$$
ОДЗ: $$x\neq -1,\,-2,\,1.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(2x-1)(x+2)+(3x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x-7+4(x-1)}{x-1}$$
$$\frac{5x^2+5x-3}{(x+1)(x+2)}=\frac{5x-11}{x-1}$$
Перемножим крест-накрест:
$$\bigl(5x^2+5x-3\bigr)(x-1)=\bigl(5x-11\bigr)(x+1)(x+2)$$
$$5x^3-8x+3=5x^3-8x^2-12x-22$$
$$8x^2+4x+25=0$$
Дискриминант:
$$D=4^2-4\cdot 8\cdot 25=16-800<0.$$
Действительных корней нет.
$$\frac{x^2+4x+4}{x+4}-\frac{2x+6}{x+2}=\frac{x^2+x+1}{x+1}-\frac{2x+9}{x+3}$$
ОДЗ: $$x\neq -4,\,-2,\,-1,\,-3.$$
Упростим дроби:
$$\frac{(x+2)^2}{x+4}-\frac{2(x+3)}{x+2}=\frac{x^2+x+1}{x+1}-\frac{2x+9}{x+3}$$
Приведём к общему знаменателю и упростим:
$$\frac{x^3+4x^2-2x-16}{(x+4)(x+2)}=\frac{x^3+2x^2-7x-6}{(x+1)(x+3)}$$
$$\bigl(x^3+4x^2-2x-16\bigr)(x+1)(x+3)=\bigl(x^3+2x^2-7x-6\bigr)(x+4)(x+2)$$
После раскрытия скобок получаем:
$$4x^3+20x^2+22x=0$$
$$2x(2x^2+10x+11)=0$$
Отсюда:
$$x=0$$
или
$$2x^2+10x+11=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 2\cdot 11=12,$$
$$x=\frac{-10\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{-10\pm 2\sqrt3}{4}=\frac{-5\pm\sqrt3}{2}.$$
$$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x-2}{x+3}=\frac{x-4}{x+5}-\frac{x-5}{x+6}$$
ОДЗ: $$x\neq -2,\,-3,\,-5,\,-6.$$
Приведём дроби к общему знаменателю:
$$\frac{(x-1)(x+3)-(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\frac{(x-4)(x+6)-(x-5)(x+5)}{(x+5)(x+6)}$$
$$\frac{2x+1}{(x+2)(x+3)}=\frac{2x+1}{(x+5)(x+6)}$$
Перенесём в одну сторону:
$$\frac{(2x+1)(x+5)(x+6)-(2x+1)(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)(x+5)(x+6)}=0$$
$$\frac{(2x+1)\bigl((x+5)(x+6)-(x+2)(x+3)\bigr)}{(x+2)(x+3)(x+5)(x+6)}=0$$
$$\frac{(2x+1)(6x+30- x^2-5x-6 — x^2-5x-6)}{(x+2)(x+3)(x+5)(x+6)}=0$$
После упрощения получаем:
$$12x^2+54x+24=0$$
$$2x^2+9x+4=0$$
$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 4=49,$$
$$x=\frac{-9\pm 7}{4}.$$
Следовательно,
$$x=-4,\quad x=-\frac12.$$