Упр.23.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\frac{3x+2}{x^2+2x+4}+\frac{x^2+39}{x^3-8}=\frac{5}{x-2}$$; 2) $$\frac{x}{x-1}+\frac{x+1}{x+3}=\frac{8}{x^2+2x-3}$$.

1. ОДЗ: $$x^3-8\neq 0,$$ значит $$x\neq 2.$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).$$

   Тогда уравнение можно записать так:

   $$\frac{3x+2}{x^2+2x+4}+\frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{5}{x-2}.$$

   Умножим обе части на $$(x-2)(x^2+2x+4)$$:

   $$(3x+2)(x-2)+x^2+39=5(x^2+2x+4).$$

   Раскроем скобки:

   $$3x^2-6x+2x-4+x^2+39=5x^2+10x+20.$$

   $$4x^2-4x+35=5x^2+10x+20.$$

   $$x^2+14x-15=0.$$

   $$D=14^2-4\cdot 1\cdot(-15)=196+60=256.$$

   $$x=\frac{-14\pm 16}{2}.$$

   Получаем:

   $$x_1=1,\quad x_2=-15.$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

2. ОДЗ: $$x^2+2x-3\neq 0,$$ то есть

   $$(x-1)(x+3)\neq 0,\quad x\neq 1,\; x\neq -3.$$

   Разложим знаменатель правой части:

   $$x^2+2x-3=(x-1)(x+3).$$

   Умножим уравнение на $$(x-1)(x+3)$$:

   $$x(x+3)+(x+1)(x-1)=8.$$

   $$x^2+3x+x^2-1=8.$$

   $$2x^2+3x-9=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-9)=9+72=81.$$

   $$x=\frac{-3\pm 9}{4}.$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=\frac{3}{2}.$$

   Значение $$x=-3$$ не подходит по ОДЗ, поэтому остаётся

   $$x=\frac{3}{2}.$$

Ответ

1) $$x=-15,\; 1.$$ 2) $$x=\frac{3}{2}.$$