Упр.23.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (2x-10)/(x^3+1)+4/(x+1)=(5x-1)/(x^2-x+1);
2) 6/(x^2-4x+3)+(5-2x)/(x-1)=3/(x-3);
3) (4x-6)/(x+2)-x/(x+1)=14/(x^2+3x+2);
4) x/(x^2-4)-(3x-1)/(x^2+x-6)=2/(x^2+5x+6).

1. $$\frac{2x-10}{x^3+1}+\frac{4}{x+1}=\frac{5x-1}{x^2-x+1}$$

   Так как $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),$$ получаем

   $$\frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)}+\frac{4(x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}-\frac{(5x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}=0$$
   $$\frac{2x-10+4(x^2-x+1)-(5x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}=0$$
   $$2x-10+4x^2-4x+4-5x^2-5x+x+1=0$$
   $$-x^2-6x-5=0$$
   $$x^2+6x+5=0$$
   $$(x+1)(x+5)=0$$
   $$x=-1 \text{ или } x=-5.$$

   Но $$x=-1$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель. Значит,

   ответ: $$x=-5.$$

2. $$\frac{6}{x^2-4x+3}+\frac{5-2x}{x-1}=\frac{3}{x-3}$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

   Тогда

   $$\frac{6}{(x-1)(x-3)}+\frac{5-2x}{x-1}-\frac{3}{x-3}=0$$
   $$\frac{6+(5-2x)(x-3)-3(x-1)}{(x-1)(x-3)}=0$$
   $$6+5x-15-2x^2+6x-3x+3=0$$
   $$-2x^2+8x-6=0$$
   $$x^2-4x+3=0$$
   $$(x-1)(x-3)=0.$$

   Получаем $$x=1$$ или $$x=3$$, но оба значения не входят в область допустимых значений.

   ответ: корней нет.

3. $$\frac{4x-6}{x+2}-\frac{x}{x+1}=\frac{14}{x^2+3x+2}$$

   Так как $$x^2+3x+2=(x+1)(x+2),$$ имеем

   $$\frac{4x-6}{x+2}-\frac{x}{x+1}-\frac{14}{(x+1)(x+2)}=0$$
   $$\frac{(4x-6)(x+1)-x(x+2)-14}{(x+1)(x+2)}=0$$
   $$4x^2+4x-6x-6-x^2-2x-14=0$$
   $$3x^2-4x-20=0$$
   $$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256,$$
   $$x=\frac{4\pm 16}{6}.$$
   $$x_1=-2,\qquad x_2=\frac{10}{3}.$$

   Значение $$x=-2$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель. Остаётся

   ответ: $$x=\frac{10}{3}.$$

4. $$\frac{x}{x^2-4}-\frac{3x-1}{x^2+x-6}=\frac{2}{x^2+5x+6}$$

   Разложим знаменатели:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2+x-6=(x+3)(x-2),\quad x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$

   Тогда

   $$\frac{x}{(x-2)(x+2)}-\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}-\frac{2}{(x+2)(x+3)}=0$$
   $$\frac{x(x+3)-(3x-1)(x+2)-2(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+3)}=0$$
   $$x^2+3x-3x^2-5x+2-2x+4=0$$
   $$-2x^2-4x+6=0$$
   $$x^2+2x-3=0$$
   $$(x+3)(x-1)=0.$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 2,\,-2,\,-3$$ получаем единственный корень

   ответ: $$x=1.$$