Упр.23.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x/(x+2)+(x+2)/(x-2)=16/(x^2-4);
2) (2y+3)/(2y+2)-(y+1)/(2y-2)+1/(y^2-1)=0;
3) 3x/(x^2-10x+25)-(x-3)/(x^2-5x)=1/x;
4) (x-20)/(x^2+10x)+10/(x^2-100)-5/(x^2-10x)=0.

1. $$\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{16}{x^2-4}$$

   ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne -2.$$ Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x(x-2)+(x+2)^2-16}{(x-2)(x+2)}=0$$

   $$x^2-2x+x^2+4x+4-16=0$$

   $$2x^2+2x-12=0$$

   $$x^2+x-6=0$$

   $$ (x+3)(x-2)=0 $$

   $$x=-3 \text{ или } x=2.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=-3.$$

2. $$\frac{2y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{1}{y^2-1}=0$$

   ОДЗ: $$y\ne -1,\; y\ne 1.$$ Преобразуем:

   $$\frac{2y+3}{2(y+1)}-\frac{y+1}{2(y-1)}+\frac{1}{(y-1)(y+1)}=0$$

   Умножим на $$2(y+1)(y-1)$$:

   $$ (2y+3)(y-1)-(y+1)^2+2=0 $$

   $$2y^2-y-3-y^2-2y-1+2=0$$

   $$y^2-y-2=0$$

   $$ (y-2)(y+1)=0 $$

   $$y=2 \text{ или } y=-1.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$y=2.$$

3. $$\frac{3x}{x^2-10x+25}-\frac{x-3}{x^2-5x}=\frac{1}{x}$$

   ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 5.$$ Тогда

   $$\frac{3x}{(x-5)^2}-\frac{x-3}{x(x-5)}-\frac{1}{x}=0$$

   Приведём к общему знаменателю $$x(x-5)^2$$:

   $$\frac{3x^2-(x-3)(x-5)-(x-5)^2}{x(x-5)^2}=0$$

   $$3x^2-(x^2-8x+15)-(x^2-10x+25)=0$$

   $$x^2+18x-40=0$$

   $$ (x+20)(x-2)=0 $$

   $$x=-20 \text{ или } x=2.$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

4. $$\frac{x-20}{x^2+10x}+\frac{10}{x^2-100}-\frac{5}{x^2-10x}=0$$

   ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 10,\; x\ne -10.$$ Запишем знаменатели в виде множителей:

   $$\frac{x-20}{x(x+10)}+\frac{10}{(x-10)(x+10)}-\frac{5}{x(x-10)}=0$$

   Умножим на $$x(x-10)(x+10)$$:

   $$ (x-20)(x-10)+10x-5(x+10)=0 $$

   $$x^2-30x+200+10x-5x-50=0$$

   $$x^2-25x+150=0$$

   $$ (x-15)(x-10)=0 $$

   $$x=15 \text{ или } x=10.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=15.$$

Ответ

1) $$x=-3$$; 2) $$y=2$$; 3) $$x=-20,\; x=2$$; 4) $$x=15$$.