Упр.23.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x-1)/(x+3)+(x+1)/(x-3)=(2x+18)/(x^2-9);
2) 1/x-10/(x^2-5x)=(3-x)/(x-5);
3) 4x/(x^2+4x+4)-(x-2)/(x^2+2x)=1/x;
4) 6/(x^2-36)-3/(x^2-6x)+(x-12)/(x^2+6x)=0;
5) x/(x+7)+(x+7)/(x-7)=(63-5x)/(x^2-49);
6) 4/(x^2-10x+25)-1/(x+5)=10/(x^2-25).

Подробный ответ

$$\frac{x-1}{x+3}+\frac{x+1}{x-3}=\frac{2x+18}{x^2-9}$$
ОДЗ: $$x\ne 3,\; x\ne -3.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x-1)(x-3)+(x+1)(x+3)-(2x+18)}{(x-3)(x+3)}=0$$
$$x^2-4x+3+x^2+4x+3-2x-18=0$$
$$2x^2-2x-12=0$$
$$x^2-x-6=0$$
$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=-2.$$
Так как $$x=3$$ не подходит по ОДЗ, остаётся $$x=-2.$$
$$\frac1x-\frac{10}{x^2-5x}=\frac{3-x}{x-5}$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 5.$$
Так как $$x^2-5x=x(x-5),$$ получаем:
$$\frac1x-\frac{10}{x(x-5)}-\frac{3-x}{x-5}=0$$
Умножим на $$x(x-5)$$:
$$x-10-(3-x)x=0$$
$$x-10-3x+x^2=0$$
$$x^2-2x-10=0.$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+40}}{2}=1\pm\sqrt{11}.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
$$\frac{4x}{x^2+4x+4}-\frac{x-2}{x^2+2x}=\frac1x$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne -2.$$
Преобразуем знаменатели:
$$\frac{4x}{(x+2)^2}-\frac{x-2}{x(x+2)}-\frac1x=0$$
Умножим на $$x(x+2)^2$$:
$$4x^2-(x-2)(x+2)-(x+2)^2=0$$
$$4x^2-(x^2-4)-(x^2+4x+4)=0$$
$$2x^2-4x=0$$
$$2x(x-2)=0.$$
С учётом ОДЗ получаем $$x=2.$$
$$\frac6{x^2-36}-\frac3{x^2-6x}+\frac{x-12}{x^2+6x}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 6,\; x\ne -6,\; x\ne 0.$$
Разложим знаменатели на множители:
$$\frac6{(x-6)(x+6)}-\frac3{x(x-6)}+\frac{x-12}{x(x+6)}=0$$
Умножим на $$x(x-6)(x+6)$$:
$$6x-3(x+6)+(x-12)(x-6)=0$$
$$6x-3x-18+x^2-18x+72=0$$
$$x^2-15x+54=0$$
$$\left(x-6\right)\left(x-9\right)=0.$$
Корень $$x=6$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=9.$$
$$\frac{x}{x+7}+\frac{x+7}{x-7}=\frac{63-5x}{x^2-49}$$
ОДЗ: $$x\ne 7,\; x\ne -7.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x-7)+(x+7)^2-(63-5x)}{(x-7)(x+7)}=0$$
$$x^2-7x+x^2+14x+49-63+5x=0$$
$$2x^2+12x-14=0$$
$$x^2+6x-7=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x+7\right)=0.$$
Корень $$x=-7$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=1.$$
$$\frac4{x^2-10x+25}-\frac1{x+5}=\frac{10}{x^2-25}$$
ОДЗ: $$x\ne 5,\; x\ne -5.$$
Так как $$x^2-10x+25=(x-5)^2,$$ а $$x^2-25=(x-5)(x+5),$$ получаем:
$$\frac4{(x-5)^2}-\frac1{x+5}-\frac{10}{(x-5)(x+5)}=0$$
Умножим на $$ (x-5)^2(x+5) $$:
$$4(x+5)-(x-5)^2-10(x-5)=0$$
$$4x+20-(x^2-10x+25)-10x+50=0$$
$$-x^2+4x+45=0$$
$$x^2-4x-45=0$$
$$\left(x-9\right)\left(x+5\right)=0.$$
Корень $$x=-5$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=9.$$