Упр.23.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 23.17. Решите уравнение (|x+1|-|x-1|)/x=1.

Решим уравнение

$$\frac{|x+1|-|x-1|}{x}=1.$$

Так как в знаменателе стоит $$x$$, то $$x \ne 0$$. Умножим обе части уравнения на $$x$$:

$$|x+1|-|x-1|=x, \qquad x \ne 0.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$x<-1$$, то

   $$|x+1|=-x-1,\qquad |x-1|=-x+1.$$

   Тогда

   $$(-x-1)-(-x+1)=x,$$

   $$-2=x.$$

   Проверка: $$-2<-1$$, значит, подходит.

2. Если $$-1\le x<1$$, то

   $$|x+1|=x+1,\qquad |x-1|=-x+1.$$

   Тогда

   $$x+1-(-x+1)=x,$$

   $$2x=x,$$

   $$x=0.$$

   Но $$x=0$$ не подходит, так как знаменатель обращается в нуль.

3. Если $$x\ge 1$$, то

   $$|x+1|=x+1,\qquad |x-1|=x-1.$$

   Тогда

   $$x+1-(x-1)=x,$$

   $$2=x.$$

   Проверка: $$2\ge 1$$, значит, подходит.

Ответ: $$x=-2,\; x=2.$$