Упр.23.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Каким числом, рациональным или иррациональным, является значение выражения $$\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}-\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$$?

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}-\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}=\frac{(\sqrt{6}+2)^2-(\sqrt{6}-2)^2}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}$$

Вычислим числитель и знаменатель:

$$(\sqrt{6}+2)^2=6+4\sqrt{6}+4, \qquad (\sqrt{6}-2)^2=6-4\sqrt{6}+4$$

Тогда

$$\frac{(6+4\sqrt{6}+4)-(6-4\sqrt{6}+4)}{6-4} =\frac{8\sqrt{6}}{2}=4\sqrt{6}$$

Число $$4\sqrt{6}$$ иррациональное, так как содержит множитель $$\sqrt{6}$$.

Ответ

Иррациональное число, $$4\sqrt{6}$$.