Упр.23.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x^2-ax+1)/(x+3)=0;
2) (x^2+(3-2a)x+4a-10)/(x^2-4x+3)=0;
3) (x^2-ax+a-1)/v(x+1)=0?

1. $$\frac{x^2-ax+1}{x+3}=0$$
   
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$\begin{cases} x^2-ax+1=0,\\ x\ne -3. \end{cases}$$

   Чтобы корень был единственным, возможны два случая:

   1) корень квадратного уравнения совпадает с запрещённым значением $$x=-3$$. Тогда
   $$(-3)^2-a(-3)+1=0,$$
   $$9+3a+1=0,$$
   $$3a=-10,$$
   $$a=-\frac{10}{3}.$$
   При этом уравнение
   $$x^2+\frac{10}{3}x+1=0$$
   имеет корни $$x_1=-3$$ и $$x_2=-\frac13$$, значит, подходит только $$x=-\frac13$$ — один корень.

   2) квадратное уравнение имеет двойной корень:
   $$D=a^2-4=0,$$
   $$a^2=4,$$
   $$a=\pm 2.$$

   Итак, для первого уравнения:
   $$a=-\frac{10}{3},\ \pm 2.$$

2. $$\frac{x^2+(3-2a)x+4a-10}{x^2-4x+3}=0$$
   
   Область допустимых значений:
   $$x^2-4x+3\ne 0,$$
   $$\begin{cases} x\ne 1,\\ x\ne 3. \end{cases}$$
   Значит, нужно, чтобы числитель имел ровно один допустимый корень.

   Проверим, когда корень числителя совпадает с запрещёнными значениями:

   Если $$x=1$$, то
   $$1+(3-2a)+4a-10=0,$$
   $$2a-6=0,$$
   $$a=3.$$

   Если $$x=3$$, то
   $$9+3(3-2a)+4a-10=0,$$
   $$9+9-6a+4a-10=0,$$
   $$-2a+8=0,$$
   $$a=4.$$

   Если числитель имеет двойной корень, то
   $$D=(3-2a)^2-4(4a-10)=0,$$
   $$9-12a+4a^2-16a+40=0,$$
   $$4a^2-28a+49=0,$$
   $$(2a-7)^2=0,$$
   $$a=\frac72.$$

   Следовательно, для второго уравнения:
   $$a=3,\ 4,\ \frac72.$$

3. $$\frac{x^2-ax+a-1}{\sqrt{x+1}}=0$$
   
   Для существования дроби нужно:
   $$x+1>0,$$
   то есть
   $$x>-1.$$
   Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю:
   $$x^2-ax+a-1=0.$$

   Заметим, что
   $$x^2-ax+a-1=(x-1)(x-a+1).$$
   Тогда корни числителя:
   $$x=1 \quad \text{и} \quad x=a-1.$$

   Нужно, чтобы был ровно один допустимый корень.
   Если $$a\le 0$$, то $$a-1\le -1$$, и корень $$x=a-1$$ не подходит, а корень $$x=1$$ подходит. Получаем один корень.

   Если $$a=2$$, то
   $$x^2-2x+1=0,$$
   $$ (x-1)^2=0,$$
   и единственный корень $$x=1$$ подходит.

   При других значениях $$a$$ либо оба корня допустимы, либо допустимых корней нет. Значит,
   $$a\le 0 \quad \text{или} \quad a=2.$$

Ответ

1) $$a=-\frac{10}{3},\ \pm 2$$;
2) $$a=3,\ 4,\ \frac72$$;
3) $$a\le 0$$ или $$a=2$$.