Упр.23.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2-ax+5)/(x-1)=0;
2) (x^2-(3a+1)x+2a^2+3a-2)/(x^2-6x+5)=0;
3) (x^2-(a+4)x+3a+3)/v(x-2)=0?

Подробный ответ

$$\frac{x^2-ax+5}{x-1}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$ \begin{cases} x^2-ax+5=0,\\ x\ne 1. \end{cases} $$
Чтобы уравнение имело единственный корень, возможны два случая:
1) квадратное уравнение имеет двойной корень:
$$D=a^2-4\cdot 5=a^2-20=0,$$
$$a=\pm 2\sqrt5.$$
2) корень квадратного уравнения равен $$1$$, но тогда он не подходит из-за ограничения $$x\ne 1$$:
$$1-a+5=0,$$
$$a=6.$$
При $$a=6$$ получаем:
$$x^2-6x+5=0,$$
$$x_1=1,\quad x_2=5,$$
но $$x=1$$ не подходит, значит остаётся единственный корень $$x=5$$.
$$\frac{x^2-(3a+1)x+2a^2+3a-2}{x^2-6x+5}=0$$
Тогда
$$ \begin{cases} x^2-(3a+1)x+2a^2+3a-2=0,\\ x^2-6x+5\ne 0, \end{cases} $$
то есть $$x\ne 1$$ и $$x\ne 5$$.
Чтобы был единственный корень, рассмотрим случаи, когда квадратное уравнение имеет один корень или два корня, из которых только один подходит.
Если $$x=1$$, то
$$1-(3a+1)+2a^2+3a-2=0,$$
$$2a^2-2=0,$$
$$a=\pm 1.$$
Если $$a=1$$, то
$$x^2-4x+2+3-2=0,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$x_1=1,\quad x_2=3,$$
но $$x=1$$ не подходит, остаётся один корень.
Если $$a=-1$$, то
$$x^2+2x+2-3-2=0,$$
$$x^2+2x-3=0,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1,$$
но $$x=1$$ не подходит, остаётся один корень.
Если $$x=5$$, то
$$25-5(3a+1)+2a^2+3a-2=0,$$
$$2a^2-12a+18=0,$$
$$a^2-6a+9=0,$$
$$a=3.$$
При $$a=3$$ получаем
$$x^2-10x+25=0,$$
$$x=5,$$
но $$x=5$$ не подходит, значит корней нет.
Если квадратное уравнение имеет один корень, то
$$D=(3a+1)^2-4(2a^2+3a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2,$$
откуда $$a=3,$$ но этот случай уже не подходит.
$$\frac{x^2-(a+4)x+3a+3}{\sqrt{x-2}}=0$$
Здесь необходимо:
$$ \begin{cases} x^2-(a+4)x+3a+3=0,\\ x-2>0. \end{cases} $$
То есть $$x>2$$.
Чтобы уравнение имело единственный корень, рассмотрим случаи.
Если $$x=2$$, то
$$4-2(a+4)+3a+3=0,$$
$$a-1=0,$$
$$a=1.$$
При $$a=1$$:
$$x^2-5x+6=0,$$
$$x_1=2,\quad x_2=3,$$
но подходит только $$x=3$$, так как $$x>2$$.
Если квадратное уравнение имеет один корень, то
$$D=(a+4)^2-4(3a+3)=a^2-4a+4=(a-2)^2,$$
откуда $$a=2.$$
При $$a=2$$:
$$x^2-6x+9=0,$$
$$x=3,$$
и это единственный подходящий корень.