Упр.23.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
1) (x+2)/(a+1)=(2x-a-1)/(x-2);
2) (x^2+(3a+1)x+2a+2a^2)/(x-1)(x+2) =0;
3) (x^2-(2a+1)x+a+a^2)/x(x-2) =0;
4) (a-2)x/(a-1)-1=(a+2)/(a-1)-(2x^2+a+1)/(a-1)x.
$$\frac{x+2}{a+1}=\frac{2x-a-1}{x-2}$$
ОДЗ: $$a\ne -1,\ x\ne 2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+2)(x-2)-(2x-a-1)(a+1)}{(a+1)(x-2)}=0.$$
Тогда числитель равен нулю:
$$x^2-(2a+2)x+a^2+2a-3=0.$$
$$D=(2a+2)^2-4(a^2+2a-3)=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{2a+2\pm 4}{2},\quad x_1=a-1,\ x_2=a+3.$$
Проверим особые значения параметра.
Если $$a=-1,$$ то уравнение не определено.
Если $$a=3,$$ то корень $$x=a-1=2$$ не подходит по ОДЗ, остаётся $$x=6.$$
Если $$a\ne -1$$ и $$a\ne 3,$$ то оба корня подходят.
$$\frac{x^2+(3a+1)x+2a+2a^2}{(x-1)(x+2)}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 1,\ x\ne -2.$$
Нужно решить уравнение числителя:
$$x^2+(3a+1)x+2a+2a^2=0.$$
$$D=(3a+1)^2-4(2a+2a^2)=(a-1)^2.$$
$$x_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm (a-1)}{2},\quad x_1=-2a,\ x_2=-a-1.$$
Проверим, когда корни не нарушают ОДЗ.
Если $$x=1,$$ то
$$1+(3a+1)+2a+2a^2=0,$$
$$2a^2+5a+2=0,$$
$$a=-2 \text{ или } a=-\frac12.$$
Если $$a=-2,$$ то корни: $$x=4$$ и $$x=1,$$ но $$x=1$$ не подходит, значит $$x=4.$$
Если $$a=-\frac12,$$ то корни: $$x=1$$ и $$x=-\frac12,$$ значит $$x=-\frac12.$$
Если $$x=-2,$$ то
$$4-6a-4+2a+2a^2=0,$$
$$a^2-2a+1=0,$$
$$a=1.$$
При $$a=1$$ получаем $$x^2+4x+4=0,$$ то есть $$x=-2,$$ но это не подходит по ОДЗ, значит корней нет.
Если $$a\ne -2,\ a\ne -\frac12,\ a\ne 1,$$ то оба корня подходят.
$$\frac{x^2-(2a+1)x+a+a^2}{x(x-2)}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\ x\ne 2.$$
Решаем числитель:
$$x^2-(2a+1)x+a+a^2=0.$$
$$D=(2a+1)^2-4(a+a^2)=1.$$
$$x_{1,2}=\frac{2a+1\pm 1}{2},\quad x_1=a,\ x_2=a+1.$$
Проверим особые случаи.
Если $$x=0,$$ то
$$a+a^2=0,$$
$$a(a+1)=0,$$
$$a=0 \text{ или } a=-1.$$
Если $$a=0,$$ то корни: $$x=0$$ и $$x=1,$$ подходит только $$x=1.$$
Если $$a=-1,$$ то корни: $$x=-1$$ и $$x=0,$$ подходит только $$x=-1.$$
Если $$x=2,$$ то
$$4-(2a+1)\cdot 2+a+a^2=0,$$
$$a^2-3a+2=0,$$
$$a=1 \text{ или } a=2.$$
Если $$a=1,$$ то корни: $$x=1$$ и $$x=2,$$ подходит только $$x=1.$$
Если $$a=2,$$ то корни: $$x=2$$ и $$x=3,$$ подходит только $$x=3.$$
Если $$a\ne -1,\ a\ne 0,\ a\ne 1,\ a\ne 2,$$ то оба корня подходят.
$$\frac{(a-2)x}{a-1}-1=\frac{a+2}{a-1}-\frac{2x^2+a+1}{(a-1)x}$$
ОДЗ: $$a\ne 1,\ x\ne 0.$$
Умножим на $$x(a-1)$$:
$$x(a-2)x-x(a-1)=x(a+2)-(2x^2+a+1).$$
После упрощения получаем:
$$ax^2-(2a+1)x+a+1=0.$$
$$D=(2a+1)^2-4a(a+1)=1.$$
$$x_{1,2}=\frac{2a+1\pm 1}{2a},\quad x_1=1,\ x_2=\frac{a+1}{a}.$$
Если $$a=1,$$ то уравнение не определено.
Если $$a=0,$$ то
$$-x+1=0,$$
$$x=1.$$
Если $$a=-1,$$ то
$$-x^2+x=0,$$
$$x(x-1)=0,$$
подходит только $$x=1.$$
Если $$a\ne -1,\ a\ne 0,\ a\ne 1,$$ то решения: $$x=1$$ или $$x=\frac{a+1}{a}.$$
Ответ
1) если $$a=-1,$$ то уравнение не определено; если $$a=3,$$ то $$x=6$$; если $$a\ne -1$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=a-1$$ или $$x=a+3$$.
2) если $$a=-2,$$ то $$x=4$$; если $$a=-\frac12,$$ то $$x=-\frac12$$; если $$a=1,$$ то корней нет; если $$a\ne -2,\ a\ne -\frac12,\ a\ne 1,$$ то $$x=-2a$$ или $$x=-a-1$$.
3) если $$a=0,$$ то $$x=1$$; если $$a=-1,$$ то $$x=-1$$; если $$a=1,$$ то $$x=1$$; если $$a=2,$$ то $$x=3$$; если $$a\ne -1,\ a\ne 0,\ a\ne 1,\ a\ne 2,$$ то $$x=a$$ или $$x=a+1$$.
4) если $$a=1,$$ то уравнение не определено; если $$a=0$$ или $$a=-1,$$ то $$x=1$$; если $$a\ne -1,\ a\ne 0,\ a\ne 1,$$ то $$x=1$$ или $$x=\frac{a+1}{a}.$$
