Упр.23.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x/2a+2/(x-2)=(3x-2a)/2(x-2) ;
2) x/(x-a)-2a/(x+a)=(8a^2)/(x^2-a^2 );
3) 1/(x+2)-(2a-1)/(x^2-2x+4)=(6-4a)/(x^3+8);
4) x/(x+a)-(a-2)/(x-a)=(4a-2a^2)/(x^2-a^2 ).

1. $$\frac{x}{2a}+\frac{2}{x-2}=\frac{3x-2a}{2(x-2)}$$

   ОДЗ: $$a\ne 0,\ x\ne 2.$$ Умножим на $$2a(x-2)$$:

   $$x(x-2)+4a= a(3x-2a)$$

   $$x^2-(2+3a)x+2a^2+4a=0$$

   $$D=(2+3a)^2-4(2a^2+4a)=(a-2)^2.$$

   Тогда

   $$x_{1,2}=\frac{2+3a\pm(a-2)}{2}$$

   $$x_1=a+2,\qquad x_2=2a.$$

   Проверим особые значения параметра.

   Если $$a=0$$, уравнение не определено.

   Если $$a=1$$, то $$x=3$$ или $$x=2$$, но $$x=2$$ не подходит по ОДЗ. Значит, $$x=3$$.

   При $$a\ne 0$$ и $$a\ne 1$$ оба корня допустимы.

2. $$\frac{x}{x-a}-\frac{2a}{x+a}=\frac{8a^2}{x^2-a^2}$$

   ОДЗ: $$x\ne a,\ x\ne -a.$$ Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x(x+a)-2a(x-a)-8a^2}{(x-a)(x+a)}=0$$

   $$x^2-ax-6a^2=0$$

   $$D=a^2+24a^2=25a^2,$$

   $$x_{1,2}=\frac{a\pm 5a}{2}.$$

   Получаем

   $$x_1=-2a,\qquad x_2=3a.$$

   Проверим особые случаи.

   Если $$a=0$$, то $$x=0$$, но это не подходит, так как $$x\ne a$$. Корней нет.

   Если $$a\ne 0$$, то $$x=-2a$$ и $$x=3a$$ допустимы.

3. $$\frac{1}{x+2}-\frac{2a-1}{x^2-2x+4}=\frac{6-4a}{x^3+8}$$

   Так как $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$, то ОДЗ: $$x\ne -2.$$ Умножим на $$ (x+2)(x^2-2x+4)$$:

   $$x^2-2x+4-(2a-1)(x+2)-(6-4a)=0$$

   $$x^2-(1+2a)x=0$$

   $$x(x-1-2a)=0.$$

   Следовательно,

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=1+2a.$$

   Но $$x=-2$$ запрещено.

   Если $$1+2a=-2$$, то $$a=-\frac{3}{2}$$, и тогда второй корень совпадает с запрещённым значением. Остаётся только $$x=0$$.

   Если $$a\ne -\frac{3}{2}$$, то оба корня допустимы.

4. $$\frac{x}{x+a}-\frac{a-2}{x-a}=\frac{4a-2a^2}{x^2-a^2}$$

   ОДЗ: $$x\ne a,\ x\ne -a.$$ Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x(x-a)-(a-2)(x+a)-(4a-2a^2)}{(x-a)(x+a)}=0$$

   $$x^2-(2a-2)x+a^2-2a=0.$$

   $$D=(2a-2)^2-4(a^2-2a)=4.$$

   Тогда

   $$x_{1,2}=\frac{2a-2\pm 2}{2}.$$

   Получаем

   $$x_1=a-2,\qquad x_2=a.$$

   Корень $$x=a$$ не подходит по ОДЗ, а $$x=a-2$$ допустим, если $$a-2\ne \pm a$$.

   Проверим случай $$x=-a$$:

   $$(-a)^2-\bigl(2a-2\bigr)(-a)+a^2-2a=0$$

   $$4a^2-4a=0$$

   $$4a(a-1)=0.$$

   Если $$a=0$$, то корень $$x=a-2=-2$$ не подходит, корней нет.

   Если $$a=1$$, то корень $$x=a-2=-1$$ совпадает с запрещённым значением $$x=-a$$, корней нет.

   При $$a\ne 0$$ и $$a\ne 1$$ остаётся корень $$x=a-2$$.

Ответ

1. если $$a=0$$, уравнение не определено; если $$a=1$$, $$x=3$$; если $$a\ne 0$$ и $$a\ne 1$$, то $$x=2a$$ или $$x=a+2$$;
2. если $$a=0$$, корней нет; если $$a\ne 0$$, то $$x=-2a$$ или $$x=3a$$;
3. если $$a=-\frac{3}{2}$$, то $$x=0$$; если $$a\ne -\frac{3}{2}$$, то $$x=0$$ или $$x=1+2a$$;
4. если $$a=0$$ или $$a=1$$, корней нет; если $$a\ne 0$$ и $$a\ne 1$$, то $$x=a-2$$.