Упр.23.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
1) (x^2-8x+7)/(x-a)=0;
2) (x-a)/(x^2-8x+7)=0;
3) (x^2-(3a+2)x+6a)/(x-6)=0;
4) a(x-a)/(x+3)=0.
$$\frac{x^2-8x+7}{x-a}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$ \begin{cases} x^2-8x+7=0,\\ x\ne a. \end{cases} $$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-8x+7=(x-1)(x-7).$$
Тогда
$$x=1 \text{ или } x=7,$$
но нужно исключить значение, равное $a$.
Если $a=1$, то $x=7$; если $a=7$, то $x=1$; если $a\ne1$ и $a\ne7$, то $x=1$ или $x=7$.
$$\frac{x-a}{x^2-8x+7}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$ \begin{cases} x-a=0,\\ x^2-8x+7\ne0. \end{cases} $$
Отсюда
$$x=a,$$
а знаменатель не должен обращаться в нуль при $x=1$ и $x=7$.
Значит, если $a=1$ или $a=7$, корней нет; если $a\ne1$ и $a\ne7$, то $x=a$.
$$\frac{x^2-(3a+2)x+6a}{x-6}=0$$
Тогда
$$ \begin{cases} x^2-(3a+2)x+6a=0,\\ x\ne6. \end{cases} $$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-(3a+2)x+6a=(x-2)(x-3a).$$
Следовательно,
$$x=2 \text{ или } x=3a,$$
при этом $x\ne6$.
Если $3a=2$, то есть $a=\frac23$, корень один: $x=2$.
Если $a=2$, то $x=6$ не подходит, и остаётся $x=2$.
Если $a\ne2$ и $a\ne\frac23$, то $x=2$ или $x=3a$.
$$\frac{a(x-a)}{x+3}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$ \begin{cases} a(x-a)=0,\\ x\ne-3. \end{cases} $$
Рассмотрим случаи:
- если $a=0$, то числитель равен нулю при любом $x$, кроме $x=-3$;
- если $a\ne0$, то из $a(x-a)=0$ получаем $x=a$, при этом нужно, чтобы $a\ne-3$;
- если $a=-3$, то $x=a$ не подходит, поэтому корней нет.
Ответ
1) если $a=1$, то $x=7$; если $a=7$, то $x=1$; если $a\ne1$ и $a\ne7$, то $x=1$ или $x=7$;
2) если $a=1$ или $a=7$, корней нет; если $a\ne1$ и $a\ne7$, то $x=a$;
3) если $a=2$ или $a=\frac23$, то $x=2$; если $a\ne2$ и $a\ne\frac23$, то $x=2$ или $x=3a$;
4) если $a=0$, то $x\ne-3$; если $a=-3$, корней нет; если $a\ne0$ и $a\ne-3$, то $x=a$.
