Упр.23.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Для каждого значения параметра $$a$$ решите уравнение:
   1) $$\frac{x^2-8x+7}{x-a}=0$$;
   2) $$\frac{x-a}{x^2-8x+7}=0$$;
   3) $$\frac{x^2-(3a+2)x+6a}{x-6}=0$$;
   4) $$\frac{a(x-a)}{x+3}=0$$.

1. $$\frac{x^2-8x+7}{x-a}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\begin{cases} x^2-8x+7=0,\\ x\ne a. \end{cases}$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7).$$

   Тогда

   $$x=1 \text{ или } x=7,$$

   но нужно исключить значение, равное $$a$$.

   Если $$a=1$$, то $$x=7$$; если $$a=7$$, то $$x=1$$; если $$a\ne1$$ и $$a\ne7$$, то $$x=1$$ или $$x=7$$.

2. $$\frac{x-a}{x^2-8x+7}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\begin{cases} x-a=0,\\ x^2-8x+7\ne0. \end{cases}$$

   Отсюда

   $$x=a,$$

   а знаменатель не должен обращаться в нуль при $$x=1$$ и $$x=7$$.

   Значит, если $$a=1$$ или $$a=7$$, корней нет; если $$a\ne1$$ и $$a\ne7$$, то $$x=a$$.

3. $$\frac{x^2-(3a+2)x+6a}{x-6}=0$$

   Тогда

   $$\begin{cases} x^2-(3a+2)x+6a=0,\\ x\ne6. \end{cases}$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2-(3a+2)x+6a=(x-2)(x-3a).$$

   Следовательно,

   $$x=2 \text{ или } x=3a,$$

   при этом $$x\ne6$$.

   Если $$3a=2$$, то есть $$a=\frac23$$, корень один: $$x=2$$.

   Если $$a=2$$, то $$x=6$$ не подходит, и остаётся $$x=2$$.

   Если $$a\ne2$$ и $$a\ne\frac23$$, то $$x=2$$ или $$x=3a$$.

4. $$\frac{a(x-a)}{x+3}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\begin{cases} a(x-a)=0,\\ x\ne-3. \end{cases}$$

   Рассмотрим случаи:

   • если $$a=0$$, то числитель равен нулю при любом $$x$$, кроме $$x=-3$$;
   • если $$a\ne0$$, то из $$a(x-a)=0$$ получаем $$x=a$$, при этом нужно, чтобы $$a\ne-3$$;
   • если $$a=-3$$, то $$x=a$$ не подходит, поэтому корней нет.

Ответ

1) если $$a=1$$, то $$x=7$$; если $$a=7$$, то $$x=1$$; если $$a\ne1$$ и $$a\ne7$$, то $$x=1$$ или $$x=7$$;

2) если $$a=1$$ или $$a=7$$, корней нет; если $$a\ne1$$ и $$a\ne7$$, то $$x=a$$;

3) если $$a=2$$ или $$a=\frac23$$, то $$x=2$$; если $$a\ne2$$ и $$a\ne\frac23$$, то $$x=2$$ или $$x=3a$$;

4) если $$a=0$$, то $$x\ne-3$$; если $$a=-3$$, корней нет; если $$a\ne0$$ и $$a\ne-3$$, то $$x=a$$.