Упр.23.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x-1)/(x+1)-(x-2)/(x+2)=(x-3)/(x+3)-(x-4)/(x+4);
2) (x^2+2x+2)/(x+1)+(x^2+8x+20)/(x+4)=(x^2+4x+6)/(x+2)+(x^2+6x+12)/(x+3).

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение
$$\frac{x-1}{x+1}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-3}{x+3}-\frac{x-4}{x+4}.$$
ОДЗ: $$x\neq -1,\,-2,\,-3,\,-4.$$
Приведём дроби к общему виду:
$$ \frac{(x-1)(x+2)-(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x-3)(x+4)-(x-4)(x+3)}{(x+3)(x+4)}. $$
Упростим числители:
$$ \frac{2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{2x}{(x+3)(x+4)}. $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ \frac{2x\bigl((x+3)(x+4)-(x+1)(x+2)\bigr)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=0. $$
$$ (x+3)(x+4)-(x+1)(x+2)=x^2+7x+12-(x^2+3x+2)=4x+10. $$
Тогда
$$ \frac{2x(4x+10)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=0. $$
Отсюда
$$ 2x(4x+10)=0, $$
$$ x=0 \quad \text{или} \quad 4x+10=0 \Rightarrow x=-\frac52. $$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
Рассмотрим уравнение
$$ \frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3}. $$
ОДЗ: $$x\neq -1,\,-2,\,-3,\,-4.$$
Представим числители так:
$$ x^2+2x+2=(x+1)^2+1,\quad x^2+8x+20=(x+4)^2+4, $$
$$ x^2+4x+6=(x+2)^2+2,\quad x^2+6x+12=(x+3)^2+3. $$
Тогда
$$ x+1+\frac{1}{x+1}+x+4+\frac{4}{x+4} = x+2+\frac{2}{x+2}+x+3+\frac{3}{x+3}. $$
Сократим одинаковые части:
$$ \frac{1}{x+1}+\frac{4}{x+4}=\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+3}. $$
Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(x+4)+4(x+1)}{(x+1)(x+4)}-\frac{2(x+3)+3(x+2)}{(x+2)(x+3)}=0, $$
$$ \frac{5x+8}{(x+1)(x+4)}-\frac{5x+12}{(x+2)(x+3)}=0. $$
$$ \frac{(5x+8)(x+2)(x+3)-(5x+12)(x+1)(x+4)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=0. $$
Раскроем скобки в числителе:
$$ (5x+8)(x^2+5x+6)-(5x+12)(x^2+5x+4)=0, $$
$$ 5x^3+33x^2+70x+48-5x^3-37x^2-80x-48=0, $$
$$ -4x^2-10x=0. $$
$$ -2x(2x+5)=0. $$
Следовательно,
$$ x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac52. $$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.