Упр.23.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\frac{x-1}{x+1}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-3}{x+3}-\frac{x-4}{x+4}$$;
   2) $$\frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4}=\frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3}$$.

1. Рассмотрим уравнение

   $$\frac{x-1}{x+1}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-3}{x+3}-\frac{x-4}{x+4}.$$

   ОДЗ: $$x\neq -1,\,-2,\,-3,\,-4.$$

   Приведём дроби к общему виду:

   $$\frac{(x-1)(x+2)-(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x-3)(x+4)-(x-4)(x+3)}{(x+3)(x+4)}.$$

   Упростим числители:

   $$\frac{2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{2x}{(x+3)(x+4)}.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{2x\bigl((x+3)(x+4)-(x+1)(x+2)\bigr)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=0.$$

   $$(x+3)(x+4)-(x+1)(x+2)=x^2+7x+12-(x^2+3x+2)=4x+10.$$

   Тогда

   $$\frac{2x(4x+10)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=0.$$

   Отсюда

   $$2x(4x+10)=0,$$

   $$x=0 \quad \text{или} \quad 4x+10=0 \Rightarrow x=-\frac52.$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

2. Рассмотрим уравнение

   $$\frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3}.$$

   ОДЗ: $$x\neq -1,\,-2,\,-3,\,-4.$$

   Представим числители так:

   $$x^2+2x+2=(x+1)^2+1,\quad x^2+8x+20=(x+4)^2+4,$$

   $$x^2+4x+6=(x+2)^2+2,\quad x^2+6x+12=(x+3)^2+3.$$

   Тогда

   $$x+1+\frac{1}{x+1}+x+4+\frac{4}{x+4} = x+2+\frac{2}{x+2}+x+3+\frac{3}{x+3}.$$

   Сократим одинаковые части:

   $$\frac{1}{x+1}+\frac{4}{x+4}=\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+3}.$$

   Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(x+4)+4(x+1)}{(x+1)(x+4)}-\frac{2(x+3)+3(x+2)}{(x+2)(x+3)}=0,$$

   $$\frac{5x+8}{(x+1)(x+4)}-\frac{5x+12}{(x+2)(x+3)}=0.$$

   $$\frac{(5x+8)(x+2)(x+3)-(5x+12)(x+1)(x+4)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=0.$$

   Раскроем скобки в числителе:

   $$(5x+8)(x^2+5x+6)-(5x+12)(x^2+5x+4)=0,$$

   $$5x^3+33x^2+70x+48-5x^3-37x^2-80x-48=0,$$

   $$-4x^2-10x=0.$$

   $$-2x(2x+5)=0.$$

   Следовательно,

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac52.$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

1) $$x=0,\,-\frac52.$$

2) $$x=0,\,-\frac52.$$