Упр.223 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение:
   1) $$(a-5)^2-2(a-5)+1$$;
   2) $$(a-b)(a-b-8)+16$$.
2. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдет это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями?

1) Преобразуем выражение:

$$(a-5)^2-2(a-5)+1=(a-5)^2-2(a-5)\cdot 1+1^2=(a-6)^2\ge 0.$$

Значит, при любом значении $$a$$ выражение неотрицательно.

2) Аналогично:

$$(a-b)(a-b-8)+16=(a-b)^2-8(a-b)+16=(a-b-4)^2\ge 0.$$

Следовательно, при любых значениях $$a$$ и $$b$$ выражение неотрицательно.

3) Пусть скорость поезда до увеличения равна $$x$$ км/ч. Тогда после увеличения она стала $$x+10$$ км/ч.

45 мин $$=\frac{45}{60}=\frac34$$ ч, а 40 мин $$=\frac{40}{60}=\frac23$$ ч.

Составим уравнение по формуле $$s=vt$$:

$$\frac34x=\frac23(x+10).$$

Умножим обе части на 12:

$$9x=8x+80,$$

$$x=80.$$

Тогда расстояние между станциями:

$$s=\frac34\cdot 80=60.$$

Ответ

1) $$(a-6)^2\ge 0$$; 2) $$(a-b-4)^2\ge 0$$; 3) $$60$$ км.