Упр.22.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
- Найдите область определения функции:
1) $$y=\frac{\sqrt{x^2-3x+4}}{x+2}$$;
2) $$y=\frac{1}{\sqrt{5x^2-4x+1}}$$.
1) Для функции $$y=\frac{\sqrt{x^2-3x+4}}{x+2}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля:
$$\begin{cases} x^2-3x+4\ge 0,\\ x+2\ne 0. \end{cases}$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен $$x^2-3x+4$$. Его дискриминант:
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0.$$
Так как старший коэффициент положительный, то $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x$$. Значит, ограничение даёт только знаменатель:
$$x\ne -2.$$
Следовательно,
$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
2) Для функции $$y=\frac{1}{\sqrt{5x^2-4x+1}}$$ подкоренное выражение должно быть строго положительным:
$$5x^2-4x+1>0.$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен $$5x^2-4x+1$$. Его дискриминант:
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot 1=16-20=-4<0.$$
Так как старший коэффициент положительный, то $$5x^2-4x+1>0$$ при всех $$x$$. Значит, область определения — все действительные числа:
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Ответ
1) $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$;
2) $$(-\infty;+\infty)$$.
