Упр.22.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$x^2+x+1>0$$;
   2) $$-x^2+x-1?0$$;
   3) $$(2x-1)(2x^2-3x+5)<0$$;
   4) $$\sqrt{x-1}(-5x^2+8x-5)?0$$.

1. $$x^2+x+1>0$$

   Рассмотрим квадратный трёхчлен $$x^2+x+1$$:

   $$D=1-4\cdot1\cdot1=-3<0.$$

   Так как $$D<0$$ и старший коэффициент положительный, то $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$.

   Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$.

2. $$-x^2+x-1\le 0$$

   Рассмотрим квадратный трёхчлен $$-x^2+x-1$$:

   $$D=1-4\cdot(-1)\cdot(-1)=-3<0.$$

   Так как $$D<0$$ и старший коэффициент отрицательный, то $$-x^2+x-1<0$$ при всех $$x$$, значит неравенство выполняется при всех $$x$$.

   Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$.

3. $$\left(2x-1\right)\left(2x^2-3x+5\right)<0$$

   Найдём знак второго множителя:

   $$D=(-3)^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31<0.$$

   Так как $$D<0$$ и старший коэффициент положительный, то $$2x^2-3x+5>0$$ при всех $$x$$.

   Тогда произведение будет отрицательным только при

   $$2x-1<0,$$

   $$2x<1,$$

   $$x<\frac12.$$

   Ответ: $$(-\infty;\tfrac12)$$.

4. $$\sqrt{x-1}\,(-5x^2+8x-5)\ge 0$$

   Сначала найдём область определения:

   $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

   Рассмотрим квадратный трёхчлен $$-5x^2+8x-5$$:

   $$D=8^2-4\cdot(-5)\cdot(-5)=64-100=-36<0.$$

   Так как $$D<0$$ и старший коэффициент отрицательный, то $$-5x^2+8x-5<0$$ при всех $$x$$.

   Тогда произведение $$\sqrt{x-1}\,(-5x^2+8x-5)\ge 0$$ возможно только при

   $$\sqrt{x-1}=0,$$

   откуда

   $$x-1=0,\quad x=1.$$

   Ответ: $$\{1\}$$.