Упр.22.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Квадратный трёхчлен $$x^2+ax+b$$ имеет целые корни, большие, чем $$2$$. Докажите, что число $$a+b+1$$ — составное.

Пусть корни квадратного трёхчлена $$x^2+ax+b$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём $$x_1>2$$ и $$x_2>2$$. Тогда

$$x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2).$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-a, \qquad x_1x_2=b.$$

Найдём число $$a+b+1$$:

$$\begin{aligned} a+b+1 &= -(x_1+x_2)+x_1x_2+1 \\ &= x_1x_2-x_1-x_2+1 \\ &= (x_1-1)(x_2-1). \end{aligned}$$

Так как $$x_1>2$$ и $$x_2>2$$, то $$x_1-1>1$$ и $$x_2-1>1$$. Оба множителя — целые числа, большие 1, значит, число $$a+b+1$$ представлено в виде произведения двух натуральных множителей, отличных от 1.

Следовательно, $$a+b+1$$ — составное число.

Ответ

$$a+b+1$$ — составное.