Упр.22.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) |x^2-4x+3|(x-a)?0; 2) |x^2+3x+2|(x-a) < 0.

Подробный ответ

1) $$|x^2-4x+3|(x-a)\ge 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Тогда

$$|(x-1)(x-3)|(x-a)\ge 0.$$

Так как $$|(x-1)(x-3)|\ge 0,$$ то неравенство выполняется, когда:

Теперь учитываем расположение числа $$a$$ относительно точек $$1$$ и $$3$$:

если $$a\le 1,$$ то точки $$1$$ и $$3$$ уже входят в множество $$x\ge a,$$ поэтому решение: $$x\ge a;$$
если $$1<a\le 3,$$ то к множеству $$x\ge a$$ нужно добавить точку $$x=1;$$
если $$a>3,$$ то к множеству $$x\ge a$$ нужно добавить точки $$x=1$$ и $$x=3.$$

2) $$|x^2+3x+2|(x-a)<0.$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2).$$

Тогда

$$|(x+1)(x+2)|(x-a)<0.$$

Поскольку $$|(x+1)(x+2)|\ge 0,$$ произведение будет отрицательным только тогда, когда

$$|(x+1)(x+2)|>0 \quad \text{и} \quad x-a<0,$$

то есть

$$x<a,\quad x\ne -2,\quad x\ne -1.$$

Остаётся учесть положение числа $$a$$ относительно точек $$-2$$ и $$-1$$:

если $$a<-2,$$ то при $$x<a$$ точки $$-2$$ и $$-1$$ не попадают в решение, значит $$x<a;$$
если $$-2<a\le -1,$$ то из промежутка $$x<a$$ нужно исключить точку $$x=-2;$$
если $$a>-1,$$ то из промежутка $$x<a$$ нужно исключить точки $$x=-2$$ и $$x=-1.$$