Упр.22.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 22.25. Решите уравнение x^4-2v3 x^2+x+3-v3=0.

Перепишем уравнение в виде квадратного относительно $$\sqrt{3}$$:

$$x^4-2\sqrt{3}x^2+x+3-\sqrt{3}=0$$

$$x^4-\sqrt{3}(2x^2+1)+x+3=0$$

$$\left(\sqrt{3}\right)^2-(2x^2+1)\sqrt{3}+x^4+x=0$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$\sqrt{3}$$:

$$D=(2x^2+1)^2-4(x^4+x)=4x^4+4x^2+1-4x^4-4x=4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$

Тогда

$$\sqrt{D}=2x-1$$

Получаем два случая.

1)

$$\sqrt{3}=\frac{2x^2+1-(2x-1)}{2}=\frac{2x^2-2x+2}{2}=x^2-x+1$$

$$x^2-x+1-\sqrt{3}=0$$

$$D=1-4(1-\sqrt{3})=4\sqrt{3}-3$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}$$

2)

$$\sqrt{3}=\frac{2x^2+1+(2x-1)}{2}=\frac{2x^2+2x}{2}=x^2+x$$

$$x^2+x-\sqrt{3}=0$$

$$D=1+4\sqrt{3}$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\sqrt{3}}}{2}$$

Оба случая дают действительные корни.

Ответ

$$x=\frac{1\pm\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2},\quad x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\sqrt{3}}}{2}$$