Упр.22.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$x^3-(\sqrt{2}+1)x^2+2=0$$.

Преобразуем уравнение:

$$x^3-(\sqrt2+1)x^2+2=0$$

$$x^3-\sqrt2x^2-x^2+2=0$$

$$x^3-x^2-\sqrt2x^2+2=0$$

Группируем слагаемые:

$$x^3-x^2-\sqrt2x^2+2=x^2(x-1)-\sqrt2x^2+2$$

Удобно представить уравнение в виде произведения, заметив, что $$x=\sqrt2$$ является корнем:

$$\sqrt2^3-(\sqrt2+1)\cdot(\sqrt2)^2+2=2\sqrt2-(\sqrt2+1)\cdot2+2=0$$

Тогда многочлен делится на $$x-\sqrt2$$:

$$x^3-(\sqrt2+1)x^2+2=(x-\sqrt2)(x^2-x-\sqrt2).$$

Получаем:

$$(x-\sqrt2)(x^2-x-\sqrt2)=0.$$

Отсюда

$$x-\sqrt2=0 \quad \text{или} \quad x^2-x-\sqrt2=0.$$

1) $$x=\sqrt2.$$

2) Решим квадратное уравнение:

$$x^2-x-\sqrt2=0.$$

$$D=1+4\sqrt2.$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4\sqrt2}}{2}.$$

Ответ

$$x=\sqrt2,\quad x=\frac{1-\sqrt{1+4\sqrt2}}{2},\quad x=\frac{1+\sqrt{1+4\sqrt2}}{2}.$$